La conservación de la energía en Mecánica Cuántica (o no).


A veces, la inmensa mayoría de las veces, volver a estudiar hechos y conceptos que damos por supuesto y/o aprendidos es un ejercicio muy útil que nos proporciona una visión diferente y bastante enriquecedora. Más aún si se trata de conceptos relativos a la Mecánica Cuántica que, seamos sinceros, no hay nadie absolutamente nadie que la entienda, y el que diga que lo hace miente como un bellaco. Vamos a ver un ejemplo de esto en esta entrada.

Imaginemos que nos tiramos de cabeza contra un muro. Lo más probable es que nos rompamos la crisma y que se nos quiten las ganas de hacerlo de nuevo.

Captura de pantalla 2015-02-01 a la(s) 23.00.33

Ahora bien, supongamos que nos transformamos en una partícula y que nuestra dinámica está regida por la leyes de la Mecánica Cuántica. La situación cambia completamente (nota para los expertos: hay alguna licencia en esta parte en aras de una mayor claridad en la analogía). Por un lado tendríamos una función de onda, asociada dada por la dualidad onda-corpúsculo, y una probabilidad distinta de cero de atravesar la barrera sin partirnos la cabeza. Esto es lo que se conoce como efecto túnel.

Captura de pantalla 2015-02-01 a la(s) 23.02.41Este efecto es muy conocido, y de hecho tiene muchísimas aplicaciones hoy en día como por ejemplo el Microscopio de Efecto Túnel (Scanning Tunnelling Microscope STM). Sin embargo, no por conocido este fenómeno deja de ocultar sorpresas. Si pudiéramos tomar una imagen del momento en el que la función de onda, es decir la partícula, está atravesando la barrera “veríamos” que parte de la función de onda está por fuera de la barrera y parte de la función de onda está dentro de la barrera. De hecho como la energía se tiene que conservar (atención a las cursivas) nunca toda la función puede estar totalmente debajo de la barrera. Siempre tiene que existir parte por fuera de ésta.

Captura de pantalla 2015-02-01 a la(s) 23.04.19

Si en esta situación midiéramos la energía de la función de onda completa obtendríamos la energía inicial Ei.

Captura de pantalla 2015-01-30 a la(s) 21.44.48

Hasta aquí todo claro. ¿Pero qué pasaría si pudiéramos medir exclusivamente la energía de la parte de la función de onda que está debajo de la barrera? Tras darle un par de vueltas tendríamos que concluir , o al menos eso creo yo, que la energía es Eb. Es decir mediaríamos una energía mucho mayor que la energía inicial Ei con los evidentes problemas que eso implica.

Captura de pantalla 2015-01-30 a la(s) 21.50.46

En este punto muchos y con razón podéis decir que por un lado no existe un experimento posible, o al menos a mí no se me ocurre, para medir exclusivamente la parte de la función de onda que está por debajo de la barrera en el efecto túnel, y por otro que si ese experimento existiera la propia medida, ¡ay el problema de la medida!, interaccionaría con el sistema y que las cosas no serían tan sencillas como las estoy planteando. Tenéis toda la razón, pero hay una forma de medir un proceso análogo. Un proceso que podemos inducir mediante la interacción láser-materia…

Como vamos a entrar en un terreno un tanto complicado vayamos paso a paso. Por un lado sabemos que los estados accesibles de un átomo o molécula, un sistema de ahora en adelante, están cuantizados. Es decir un sistema solo absorberá un fotón si la energía de éste coincide con la diferencia de energía entre el estado fundamental, el estado de menor energía, y un estado excitado. En el caso del átomo de hidrógeno estas diferencias son:13.6-3.40 eV, 13.6-1.51 eV, y así sucesivamente.

hydrogen-atom

Sin embargo esto no es siempre así, y las cosas no son siempre tan sencillas. Supongamos un sistema en su estado de menor energía con su estado fundamental y su primer estado excitado, y un láser pulsado con frecuencia central ω tal que la energía de sus fotones (hω) difiere por una cantidad Δ (detuning) de la diferencia de energía entre los estados considerados. Este detuning se elige mayor que la incertidumbre en energía (por la relación de incertidumbre energía-tiempo) del pulso láser. De forma técnica el detuning debe ser mayor que el bandwidth del láser.

Captura de pantalla 2015-01-31 a la(s) 20.54.31En estas condiciones y aunque como decíamos antes los fotones del láser tengan una energía menor que el gap de energía entre los estados, la Mecánica Cuántica nos dice que durante la interacción láser-materia existe una probabilidad no nula de encontrar el sistema en el estado excitado (!). En términos técnicos decimos que existe una transferencia de población desde el estado fundamental al estado excitado. Al cesar la interacción la población retorna al estado fundamental y el sistema queda como si nada hubiera pasado. Debido a este retorno este proceso se conoce como Coherent Population Return (CPR) existiendo muchas referencias bibliográficas (entre ellas mi tesis) sobre las posibles aplicaciones experimentales.

Captura de pantalla 2015-02-01 a la(s) 23.14.46

Si nos fijamos bien, mediante CPR hemos conseguido una situación similar a la que describíamos al principio de este post. La función de onda que describe nuestro sistema tiene una componente asociada al estado fundamental que es análoga a la parte que está fuera de la barrera en los ejemplos de tunnelling. También tiene una componente asociada a un fenómeno que “en principio no es posible” que es la componente asociada al estado excitado que resulta análoga a la parte de la función de onda que está debajo de la barrera.

Sin embargo existe una diferencia fundamental ya que en el caso de CPR sí podemos medir la parte de la función de onda correspondiente al proceso “no permitido”. Basta con utilizar un segundo láser que ionize la población transferida al estado excitado y detectar los iones generados.

Captura de pantalla 2015-02-01 a la(s) 18.32.33

Ajustando la energía de los fotones del láser de ionización, que no afecta para nada al láser de CPR, podemos conseguir una situación en la que ionicemos un sistema pero siendo la suma de las energías de los fotones absorbidos menor que el potencial de ionización (!!!).

Untitled

Las cosas se están empezando a complicar un poco. Tenemos un fenómeno que se puede describir de forma muy fácil teóricamente, de hecho es un ejercicio muy interesante para cualquier estudiante de Mecánica Cuántica, que se puede demostrar experimentalmente, pero que sin embargo no admite una interpretación sencilla ya que todo apunta a que la energía no se conserva.

Untitled

El asunto es desde luego espinoso y hay que andarse con pies de plomo para no patinar. De hecho tras unos 4 años trabajando en esto aún no tengo claro como solucionar esta “paradoja”. Al menos sí tengo claro algunas cosas:

1.- No es un efecto del bandwidth

Los láseres pulsados por tener una duración temporal finita tienen asociados un bandwidth, es decir una incertidumbre en frecuencia (o de forma equivalente una incertidumbre en energía), que para pulsos gaussianos cumple la ecuación:

Untitled

Se podría pensar que teniendo en cuenta las incertidumbres en energía de los láseres de CPR y de ionización se podría salvar la conservación de la energía. Sin embargo es fácil demostrar que la ionización se produce independientemente del detuning Δ que elijamos para el láser de CPR. De hecho la condición para que CPR funciones es que el detuning sea mayor que el bandwidth del láser. También es posible demostrar experimentalmente y analíticamente que la señal de iones que se obtiene es incompatible con que sea un efecto del bandwidth.

2.- ¿Conservación de la energía en un proceso que depende del tiempo?

Se puede argumentar y con razón que hablar de la conservación de la energía durante un proceso dependiente del tiempo es algo cuando menos dudoso. De hecho si el hamiltoniano que describe el proceso que estamos estudiando depende del tiempo, la ecuación en Mecánica Cuántica que describe la evolución del valor medio de los operadores nos dice que la energía no se conserva.
Captura de pantalla 2015-02-01 a la(s) 23.23.19

Sin embargo si hacemos el balance de energía olvidándonos del momento de la interacción podemos fácilmente comprobar como la energía final es mayor que la inicial.

Captura de pantalla 2015-02-01 a la(s) 22.36.30

3.- En interacción láser-materia la materia se trata de forma cuántica y la radiación de forma clásica resultando un tratamiento semiclásico.

Efectivamente. A la hora de resolver la Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, la materia se trata de forma cuántica, con estado cuantizados, y la radiación de forma clásica. De hecho un pulso láser se describe por una función envolvente, típicamente una gaussiana, multiplicada por una función oscilante (seno o coseno) que da información sobre la frecuencia de la radiación.

Captura de pantalla 2015-02-02 a la(s) 13.29.24Sin embargo hay varias razones que me hacen pensar que el tratamiento no es el problema. Por un lado muchos efectos puramente cuánticos, como por ejemplo Electromagnetic Induced Transparency (EIT), son extremadamente bien descritos por un tratamiento semiclásico de la interacción. Y por otro, es posible avanzar hacia un tratamiento “más cuántico” aunque aún semiclásico si se describe el pulso láser en función de los operadores escalera. Es decir si se aplica el modelo de Jaynes-Cummings. Si os tomáis el tiempo para describir la interacción usando este formalismo podréis comprobar con sorpresa como el resultado es exactamente el que predice la teoría semiclásica (yo lo he hecho).

Como es habitual en Física sabemos qué no es la respuesta a nuestro problema pero seguimos sin saber cual es la respuesta en sí. Veamos ahora algunas posibilidades que yo calificaría como plausibles. Más adelante veremos las “ideas locas” fruto de la desesperación.

1.- El concepto de fotón

Si lo pensamos detenidamente el fotón surge de la cuantización de un campo eléctrico ideal. Un campo eléctrico que no depende del tiempo y que por supuesto no está interaccionando con nada. Sin embargo en este ejemplo estamos usando este concepto de fotón en una situación dependiente del tiempo y de interacción. ¿Tiene sentido hablar de fotones en este caso? Dicho de otra forma, ¿sabemos contar el número de fotones que se absorben para el caso de CPR? Porque claro está, si los fotones no tuvieran que absorberse de forma entera, si por ejemplo el sistema pudiera absorber ¾ de un fotón, tendríamos el problema solucionado. ¿Estamos “forzando” demasiado este concepto con nuestras ecuaciones y nuestra interpretación de éstas? Le he dado muchas vueltas a este asunto con muchos colegas muy inteligentes y la única conclusión a la que hemos llegado es que no estamos seguros. Hoy por hoy no puedo dar una respuesta clara a esto. ¿Alguna idea?

2.- El concepto de tiempo en Mecánica Cuántica.

Aquí hay que andarse con pies de plomo porque es sencillo patinar. El tiempo en Mecánica Cuántica es cuando menos peculiar. Es una variable que se introduce “a presión” en las ecuaciones que describen la interacción y que a veces nos juega malas pasadas. De hecho la dependencia temporal de la interacción láser-materia es la responsable de que todas las descripciones matemáticas que hagamos sean semiclásicas. Una descripción puramente cuántica produciría un Hamiltoniano no dependiente del tiempo, el pulso láser se describiría como una superposición de modos de fotones, y por tanto tendríamos que la energía se conserva sin problemas. Para esto necesitaríamos de una Teoría Cuántica de Campos que dependa del espacio y del tiempo que sea capaz de describir una situación de interacción. Hoy por hoy yo no conozco a nadie capaz de hacer esto, de una forma u otra el tiempo siempre acaba apareciendo de forma artificial y “jodiendo” el invento.

De hecho si lo pensamos detenidamente las implicaciones de la variable tiempo en Mecánica Cuántica son muchas y variadas. Por ejemplo la relación de incertidumbre energía-tiempo no es “natural” como puede ser la relación “posición-momento” porque el tiempo no tiene operador asociado. El formalismo está “como forzado” para acoger esta relación de incertidumbre.

Como podéis ver el asunto no está nada pero nada claro, y tras interminables discusiones siempre surgen ideas locas….

1.- La energía no se conserva.

Quizás el concepto de energía en Mecánica Cuántica es mucho más complejo de lo que pensamos. Especialmente si tenemos situaciones de interacción dependiente del tiempo. Al fin y al cabo la conservación de la energía es un principio y no una ley. Vale que se cumple en el 99.9999% de los casos, pero en nuestra desesperación he de confesar que lo hemos llegado a valorar.

2.- ¿Y el vacío?

Hasta ahora no hemos considerado la interacción con el vacío. Es decir no hemos tenido en cuenta esos estados del vacío que pueden acoplarse con los estados propios de los átomos o moléculas. El asunto no es baladí ya que incluso para una correcta descripción de un fenómeno tan básico como es la emisión espontánea hay que considerar estos estados o modos del vacío. ¿Es necesario para CPR considerar el vacío y así salvar la conservación de la energía? ¿Estamos drenando energía del vacío?

Si habéis llegado hasta aquí, espero que sí, con la intención de encontrar una solución de esta aparente paradoja siento decepcionaros. No sé cual es la respuesta. Tras unos años trabajando en este tema solo hemos conseguido enredarnos cada vez más. Al abrir un puerta nos encontramos con dos más. En el fondo supongo que he comprobado en mis carnes la famosa frase de Richard Feynmann que decía:

“Si usted piensa que entiende a la mecánica cuántica… entonces usted no entiende la mecánica cuántica”

Ah! por cierto, si alguien tiene alguna idea que me la comente y la publicamos juntos 🙂

Anuncios

73 Respuestas a “La conservación de la energía en Mecánica Cuántica (o no).

  1. LA ENERGÍA SE CREA:
    Una chispa salta desde un conductor, produciendo una vibración en el campo electromagnético y generando una radiación electromagnética, y su frente de onda esférico instantáneamente se acelera a la velocidad de la luz y crece como un globo que se infla y esa esfera puede llegar a ser de los objetos más grandes del universo y atraviesa el cosmos reproduciéndose en la distancia y en el tiempo…

    Solo los dogmáticos y sectarios enceguecidos por un paradigma pueden afirmar que LA ENERGÍA NO SE CREA.

    Los dogmáticos son tan absurdos y peligrosos que han llegado hasta el extremo de quemar vivos a sus contradictores. HOY BORRAN LOS COMENTARIOS.

    ES HORA DE CONOCER EL OTRO 96% OSCURO DEL UNIVERSO.

    Si quieres conocer la nueva “Teoría sobre el Universo” solicítala gratuitamente a: martinjaramilloperez@gmail.com

  2. Pingback: La conservación de la energía en Mecánica Cuántica (o no). Solución | Cuentos Cuánticos

  3. Pingback: Láser naranja por Álvaro Peralta (@ribap) | Los Mundos de Brana

  4. Voy a decir la estupidez del día, pero es lo bueno que tienen los comentarios, que se ignoran y ya está.

    Me parece especialmente “sugerente” la teoría de “drenar energía del vacío”, aunque otra posibilidad de sería pensar en un “efecto arrastre” a lo largo del tiempo con partículas virtuales procedentes del entorno fuera del vacío en el que tiene lugar el experimento. La eneríga procedente de ese “efecto arrastre” a lo largo del tiempo, quizá podría describirse como una especie de “rozamiento dinámico”.

    No creo que esto pueda ser considerado ni como idea, pero al menos he sido breve.

    Te leo a menudo y quería agradecerte tu trabajo excelente de divulgación.
    Un saludo

  5. Pingback: Energía cinética negativa y efecto túnel cuántico | Ciencia | La Ciencia de la Mula Francis

  6. El tema está en el Hamiltoniano dependiente del tiempo, a mi parecer, al menos en la parte teórica de la discusión. Sobre experimentos no sé, así que por ahora me limito a la discusión teórica.

    Se está discutiendo mucho sobre las aproximaciones y sobre si el modelo es adecuado para el problema o no, pero no es necesario ir en esa dirección. Si un sistema tiene un Hamiltoniano hermítico debe cumplir las normas de la física cuántica, aunque no sea el Hamiltoniano que corresponde al sistema que estás estudiando. La cuestión es que en la modelización se está introduciendo un componente “extra”, que es la dependencia con el tiempo del pulso láser. Este término hace que la energía no se conserve y por eso es diferente entre -inf y +inf.

    Por supuesto, esto no hace el modelo malo. Puede predecir perfectamente otras magnitudes como las probabilidades de transición sin problema, pero en el caso de la energía introduce un factor extra.

  7. Hola Alvaro, he vuelto a leer la parte inicial del artículo; creo que volveré seguido a el. El pulso que muestras como energía del pozo de potencial y el movimiento de la nube de probabilidad se pueden interpretar como una convolución de las dos funciones. Te presento una idea usando una analogía gravitatoria de la barrera de potencial. (Como tiene gráficos tuve que hacer un blog.)
    http://fespeculativa.blogspot.com/2015/02/efecto-tunel-explicado-con-potencial.html
    Aspiro que sirva de disparador de ideas.

  8. Por dar otra posible idea (aunque igual digo una chorrada): ¿puede ser que la energía “extra” venga de la temperatura del medio, es decir, de la energía cinética de los átomos?.

    • Hola Pedro,
      no te creas que es tan chorrada. De hecho lo estuvimos barajando e hicimos algunos números pero hay dos razones que descartan esta posibilidad. Por un lado el tratamiento que se utiliza no incluye la energía cinética de las partículas y sin embargo predice perfectamente el efecto. Y por otro en los experimentos, esa supuesta energía que se gana, es mucho mayor que cualquier energía cinética de las partículas.

      Un saludo!

      Álvaro

  9. Álvaro, como bien le contestas a Anibal, la ecuación de Schrödinger conserva la energía y al medir la energía total es igual a Ei en todo momento. Pero no me gusta cuando escribes que “al medir exclusivamente la energía de la parte de la función de onda que está debajo de la barrera, tras darle un par de vueltas [concluyo] que la energía es Eb.” Esto es incorrecto, la energía se conserva y es Ei.

    Este es el famoso problema de la energía cinética negativa en la región clásicamente prohibida. No se puede detectar una partícula en dicha región porque en su caso tendría un valor negativo para la energía cinética, algo que está prohibido para una partícula. En la región clásicamente prohibida no tiene sentido la separación entre energía potencial y energía cinética (que actúan como variables complementarias en el mismo sentido que posición y momento). Por ello no podemos asignar en dicha región un valor a la energía igual al potencial (Eb), pues en dicho caso la energía cinética sería Ek=Ei-Eb < 0.

    Localizar la partícula en la región clásicamente prohibida es imposible. Se puede localizar donde a ambos lados de dicha región, pero no en ella (porque no tiene sentido el concepto de partícula).

    En tu problema óptico-atómico creo que ocurre lo mismo. El efecto túnel permite ionizar (pasar al otro lado de la barrera), pero ello no implica una violación de la conservación de la energía (como localizar la partícula al otro lado tampoco lo implica). Sólo para la visión clásica de la realidad se produce la violación de la energía (como para la visión clásica se permite imaginar la localización de la partícula en la barrera).

    No sé si has leído artículos sobre energía cinética negativa en el efecto túnel. Te recomiendo ojear algunos.

    Saludos
    Francis

    • Hola Francis,

      te comento “inline” para no perder el hilo

      >Álvaro, como bien le contestas a Anibal, la ecuación de Schrödinger >conserva la energía y al medir la energía total es igual a Ei en todo >momento. Pero no me gusta cuando escribes que “al medir exclusivamente >la energía de la parte de la función de onda que está debajo de la barrera, >tras darle un par de vueltas [concluyo] que la energía es Eb.” Esto es >incorrecto, la energía se conserva y es Ei.

      Partamos de la base que me he tomado licencias para poder hacer una analogía entre el efecto túnel y el efecto de CPR. Aún así el tema es bastante resbaladizo. Si no recuerdo mal a la hora de resolver el efecto túnel se impone como condición de contorno que la energía se conserve en todo momento. Es por esto que no puede estar en ningún momento todo el paquete de ondas por debajo de la barrera. Siempre tiene que haber parte del paquete de onda por fuera de la barrera (ya sea a la izquierda o a la derecha de esta). Teniendo esto en cuenta, imaginemos un experimento en el que podemos medir exclusivamente esa parte del paquete de ondas que está por debajo de la barrera -esto lo he pensado muchas veces y sinceramente no se me ocurre como se puede medir algo así-, la energía de este “trozo” de la función de onda tiene que ser Eb. No puede ser Ei porque Ei es la energía de todo el paquete de ondas, y nosotros solo estamos midiendo, de alguna forma, una parte.

      >Este es el famoso problema de la energía cinética negativa en la región >clásicamente prohibida. No se puede detectar una partícula en dicha región >porque en su caso tendría un valor negativo para la energía cinética, algo >que está prohibido para una partícula. En la región clásicamente prohibida >no tiene sentido la separación entre energía potencial y energía cinética >(que actúan como variables complementarias en el mismo sentido que >posición y momento). Por ello no podemos asignar en dicha región un valor >a la energía igual al potencial (Eb), pues en dicho caso la energía cinética >sería Ek=Ei-Eb Localizar la partícula en la región clásicamente prohibida es imposible. Se >puede localizar donde a ambos lados de dicha región, pero no en ella >(porque no tiene sentido el concepto de partícula).

      Totalmente de acuerdo.

      >En tu problema óptico-atómico creo que ocurre lo mismo. El efecto túnel >permite ionizar (pasar al otro lado de la barrera), pero ello no implica una >violación de la conservación de la energía (como localizar la partícula al >otro lado tampoco lo implica). Sólo para la visión clásica de la realidad se >produce la violación de la energía (como para la visión clásica se permite >imaginar la localización de la partícula en la barrera).

      No lo interpreto yo así. En la analogía con el efecto túnel, la ionización lo que me permite es “medir” esa parte de la función de onda que es prohibida. Esa parte de la función de onda que solo es posible en Mecánica Cuántica y que en términos clásicos no puede ser. Al final de todo el proceso, interpretaciones aparte, las ecuaciones dicen que se han absorbido un número x de fotones y se ha producido una ionización, pero la energía de los fotones absorbidos es menor que el ionization potential del sistema. En mi opinión el problema va más allá de una interpretación. Es muy fácil correr ecuaciones, la TDSE, y ver como efectivamente al final del proceso se gana energía. De estas simulaciones tengo montones, en diferentes regímenes, y con diferentes formalismo, y la realidad es bastante tozuda. La energía parece no conservarse.

      >No sé si has leído artículos sobre energía cinética negativa en el efecto >túnel. Te recomiendo ojear algunos.

      No he leído ninguno. Les echaré un vistazo. Gracias!

      Atención spoiler:

      La última idea que estoy barajando es repetir las ecuaciones pero en el formalismo de “Quantum jumps”. No tengo nada claro que el formalismo ayude, pero parece que da más información que la TDSE o Density Matrix para ciertos fenómenos. Por ejemplo el caso de los “Dark states” en STIRAP se explica mediante este formalismo. Ahora solo tengo que encontrar tiempo para estudiar un poco, aunque parece que no es excesivamente complejo, y correr las ecuaciones. Veremos que pasas. Stay tuned! 🙂

      Un saludo,

      Álvaro

      >No sé si has leído artículos sobre energía cinética negativa en el efecto >túnel. Te recomiendo ojear algunos.

      >Saludos
      >Francis

  10. Felicito al señor Peralta por la sinceridad con que expone el topic. Yo no diría que el efecto túnel es exclusivo de la MC, más bien es un hecho de la naturaleza, un dato empírico. Hay un punto que me sorprende, la variabilidad de los valores que se obtiene del vacío. Esto introduce complejidad en la teoría.

  11. Una pregunta que no sé si tiene mucho que ver con este post, pero tiene que ver con el efecto túnel: ¿el efecto túnel viola la segunda ley de la termodinámica? Si alguien puede puede dar algo de información. gracias.

    Sobre la cuestión misma del post, bueno, ciertamente llama la atención el hecho que la onda-corpúsculo adquiera la energía necesaria para salir del pozo, independiente de su energía inicial, como si deseara salirse y robara “de algún sitio” la energía necesaria para hacerlo.

    • Yo diría que el efecto túnel en si no viola la conservación de la energía, más que nada porque para solucionar el efecto túnel se asume a priori que la energía se conserva.

      • Me referia a si violaba el 2 principio (incremento de entropia) no el de conservacion. Gracias.

        • Jooo, nadie me puede responder a la duda???? Es que estoy muy intrigado si con el efecto túnel se puede violar el 2º principio de la termodinámica con lo cual un sistema de alta entropía podría pasar de forma espontánea a uno de baja entropía por efecto túnel. Gracias

          • Hola!
            La verdad es que no entiendo muy bien la relación que planteas entre la entropía y el efecto túnel. No lo acabo de ver. De todas formas la Mecánica Cuántica es totalmente compatible con la termodinámica y por tanto sin estudiar el problema te diría que esto no es posible.
            Un saludo!

            Álvaro

          • Hola Diogenes.

            No, el efecto túnel no viola ningún principio de la termodinámica y en concreto el segundo. En sistemas cuánticos hablar de entropía es complicado, porque no existe la diferencia entre microestado o macroestado. Si tienes N partículas ya puedes usar mecánica estadística, pero estas se rigen probabilísticamente y cuando el número de partículas es muy alto la estadística se cumple a rajatabala. No puedes usar el efecto túnel para reordenar partículas o algo por el estilo por lo que no puedes usarlo para violar el segundo principio.

  12. Pingback: Bitacoras.com

  13. Antonio (AKA "Un físico")

    La ecuación de Heisenberg, aunque sirva para corroborar la conservación de la energía en ciertos casos (es decir, para operadores independientes del tiempo y que conmutan con el hamiltoniano), no sirve para demostrar la no conservación de la energía, por ejemplo, en caso de usar un operador (o un hamiltoniano) dependiente del tiempo. Ya me gustaría a mí que alguien (así, terco como una mula) me discutiera esto.
    PD: Álvaro no te dés por aludido.

  14. Álvaro, supongo que has leído el capítulo 6.1 del libro “Quantum Optics” de Scully y Zubairy. El hamiltoniano tiene cuatro términos y la RWA equivale a despreciar dos ellos (pág. 196), ambos son términos que “no conservan la energía” y se pueden despreciar cuando la RWA conserva la energía. En tu caso parece que la RWA no conserva la energía, luego lo más razonable es que no uses dicha aproximación. Mi intuición me dice que si no aplicas RWA la energía se conservará. ¿Has calculado alguna vez los resultados sin usar la RWA? No parece difícil y creo que resolverá tus problemas.

    Saludos
    Francis

    • Hola Francis!

      En el formalismo semiclásico donde la luz láser se trata como una envolvente por una función oscilante, RWA está plenamente justificado. En este contexto RWA significa que la dinámica de la población esta dominada por la envolvente y no por la portadora. Esto es así siempre en procesos adiabáticos. De hecho si no haces RWA solo obtienes un rizado rápido en las simulaciones que no afecta para nada el resultado. La única condición para aplicar de forma segura RWA es que el pulso tenga muchos ciclos, y esto se cumple de sobra para pulsos de nanosegundos. Este nivel de teoría describe a la perfección todos los resultados.

      El nivel de teoría que describe Scully en ese capítulo es cuando se hace la segunda cuantización del campo y aparecen los operadores escalera. Es verdad que aparecen términos contraintuitivos. Términos que parecen no conservar la energía. Esto lo he discutido mucho con Gonzalo Muga de la Universidad del País Vasco. Hemos corrido simulaciones “full” es decir con todos los términos del Hamiltoniano, en una versión similar al modelo de Jaynes-Cummings pero adaptado a nuestro caso, y el resultado es idéntico, pero calcado, al que da la teoría semiclásica.

      De todas formas es interesante darse cuenta que incluso este modelo en segunda cuantización al describir la interacción de un sistema con un pulso láser es semiclásico. La dependencia temporal de la envolvente del pulso se introduce de forma arbitraria.

      Un saludo Francis!

      Álvaro

    • Hola Francis. Un pequeño detalle.

      Yo también creo que la RWA está bien justificada aquí, pero además para el tema de la energía es irrelevante. Los términos que se eliminan “no conservan la energía” independientemente, pero conjugados sí la conservan. Al eliminarlos se queda uno con un Hamiltoniano que sigue siendo hermítico, y eso es lo único que importa. cualquier Hamiltoniano hermítico describe un posible sistema físico que se puede diseñar, asíq ue aunque no correspondiera con este sistema concreto este Hamiltoniano corresponde con algún sistema, y la pregunta sigue en el aire.

  15. Consideremos que excitamos del el estado fundamental a otro de mayor energía usando una frecuencia bien definida que está justo en el límite de menor energía del “bandwidth” (o próxima, pues creo que no hay un límite bien definido). Vale, eso no es técnicamente detuning, pero da igual. Pregunto: si el átomo se desexcita emitiendo radiación, al repetir el experimento muchas veces o hacerlo con muchos átomos, ¿la emisión que obtenemos es toda de la misma frecuencia definida que usamos para excitar, u obtendríamos un ancho de frecuancias característico de ese átomo y esa transición?. Porque si ocurre esto último, entonces estamos ante la misma paradoja, aunque las diferencias de energía sean menores y no se llame detuning, y quizá la explicación sea en esencia la misma.

    • Al desexcitarse por emisión espontánea el ancho de frecuencias que veríamos sería la anchura natural de la transición, es decir 1/tau siendo tau la vida media del estado. La cuestión es que con CPR no hay una excitación permanente ya que como indica la figura una vez que el pulso cesa, todo vuelve al estado fundamental: retorna de forma coherente al estado fundamental.

      • Pues entonces a mí me parece que estamos exactamente ante la misma “paradoja” en el detuning que describes y en el caso que yo digo. En mi ejemplo ¿cómo explicas que cuando se produce la emisión espontánea obtengamos fotones de frecuencias mayores que las que usamos para excitar? (porque suponíamos que escitábamos con la frecuencia mínima del bandwidth)

        • Ese bandwith en la emisión espontánea esta dado por la relación de incertidumbre energía-tiempo. Es totalmente compatible con la Mecánica Cuántica. En el caso que presento está relación de incertidumbre no puede ser la causante ya que la “supuesta ganancia de energía” es demasiado grande.

          • Ya, si compatible con la cuántica es, faltaría más, pero eso no explica en principio, de dónde sale la energía extra si en algunas desexcitaciones se emite un fotón con más energía que la que se usó para excitar. Lo que busco es una explicación si quieres “termodinámica” o en términos de balances de energía. Al fin y al cabo, el caso que tú planteas también es totalmente compatible y coherente con la cuántica, lo que no sabemos es dar una explicación sencilla en términos “termodinámicos”.

            • El que un estado tenga vida media no solo afecta a las emisión espontánea, la anchura natural de línea también da una incertidumbre en la frecuencia de resonancia. Es decir la resonancia no está a x eV sino a x+- anchura natural/2. Está incertidumbre en la resonancia es precisamente la que vemos en la emisión espontánea. Por tanto por este lado estamos salvados en la Conservación de la Energía.

              De todas formas si queremos ser precisos hay que decir que la relación de incertidumbre energía-tiempo no es “natural” en la Mecánica Cuántica ya que el tiempo no tiene operador. Sin embargo la relación-momento sí lo es (ambas magnitudes tienen operador).

              Por otro lado la duda que planteas es muy razonable y es uno de los meollos de esto. Cómo combinar la Mecánica Cuántica con la termodinámica? El asunto no es para nada trivial y requeriría un estudio detallado. De hecho tienes razón cuando dices que lo que planteo es una duda termodinámica. La MC describe a la perfección el fenómeno y los resultados experimentales.

  16. Guillermo González de Garibay

    Mi reflexión desde la ignorancia en forma de pregunta. ¿Por qué los niveles de energía han de tener un valor fijo? ¿No pueden tener también una probabilidad asociada?

    • Los nieveles de energía se sacan cuando el átomo no interacciona con nada, y por tanto el hamiltoniano no depende del tiempo. Por tanto tienen un valor independiente del tiempo.

      • Guillermo González de Garibay

        Pero al interactuar el átomo con el pulso dependiente del tiempo, ¿no es necesario considerar el tiempo en el átomo?

        • Sí si la emisión espontánea ocurre en tiempos similares a la excitación láser, si es mucho más larga, no es necesario considerar ningún proceso exclusivamente atómico, de la interacción por supuesto que sí hay que considerarlos, que dependa del tiempo.

  17. Si se tienen en cuenta otros acoplamientos/interacciones adicionales en la descripcion inicial que se hace (v.gr. del laser-plasma), ¿se ha verificado que al utilizar perturbaciones en el Hamiltoniano (energia), se sigue encontrando, para la solucion de orden cero -la solucion inicialmente que obtienes-, una solucion que sigue siendo suficientemente robusta en terminos de estabilidad y convergencia del hamiltoniano? ¿(p.e que no sea divergente, o que no oscile caoticamente su desarrollo en los terminos de potencias perturbativos, etc)? porque de ser el caso (si la solucion es no robusta, no estable, caotica, etc), de un claro indicio (en mi opinion) de que la solucion base que has hallado inicialmente, puede ser una sobre-simplificacion del sistema propuesto, que no estaria permitida, al transgredir “formalmente” principios como el de conservacion de la energía…

    • En el desarrollo que usamos solo hacemos tres aproximaciones bien justificadas: sistema de dos niveles (todos los demás niveles están muy lejos para ser considerados), aproximación dipolar, y Rotating Wave Approximation (la dinámica está gobernada por el envelope del pulso y no por la oscilación rápida de este). Estas tres aproximaciones han sido comprobadas multiples veces y funcionan. Partiendo de aquí la solución que se obtiene es exacta y analítica. No creo que sea un problema de las aproximaciones que usamos.

  18. ¿La barrera que atraviesa la función de onda, es otra función de onda?

  19. Antonio (AKA "Un físico")

    A ver Álvaro, no voy a ser tan iluso como para pensar que, en sólo 10 minutos, he dado con la solución a algo que tú llevas pensando durante 4 años. Pero tal vez lo que digo te pueda servir:
    (1) Yo creo que la ecuación que pones precisamente indica que (sustituyendo A por el hamiltoniano y como el hamiltoniano conmuta consigo mismo) la energía es la cantidad conservada asociada al hamiltoniano (su eigenvalor): E es una constante del movimiento.
    (2) Yo apostaría a que en mecánica cuántica ocurre como en mecánica clásica: hay rozamientos. No serían rozamientos contínuos, sino cuantizados; pero haberlos haylos. Al chocar un foton con una barrera de potencial algún tipo de disipación sí que causaría la barrera a ese fotón.
    En fin, ¡suerte!. Pero yo no iría insinuando que la energía no se conserva en la MC.

    • Hola!

      no te creas, a lo mejor ver el problema con unos ojos nuevos ayuda.

      Lo de la conservación de le energía en MC es un titulo provocativo sin más. Pero lo que si estoy seguro es que en este ejemplo concreto hay algo raro. Muy raro. Y no solo experimentalmente, teóricamente es super fácil demostrar que algo no va bien. Apuntas bien en el sentido de tener un H dependiente del t puede ser un problema. De hecho si no dependiera la energía se conservaría. Ahora bien, como describimos la interacción de un sistema con un pulso láser sin meter una dependencia temporal? Yo no sé, y le he dado vueltas, y lo malo es qeu tampoco conozco a nadie que sea capaz.

      Un saludo!

      • Antonio (AKA "Un físico")

        Aunque haya un hamiltoniano dependiente del tiempo no veo cómo se puede rebatir la conservación de la energía. Lo más natural que veo es de lo que hablaba en mi punto (2) y para modelizar esos eventos disipativos, tal vez, sea clave el libro: “Quantum statistical mechanics” (2009) por Schieve. Lo que usan son varios: hamiltonianos y matrices de densidad (que en general no conmutan). Muchos de estos sí dependen del tiempo y crean las ecuaciones maestras apropiadas para cada ocasión.
        Nada más puedo aportar (además que seguro que tú ya sabes todo esto).

        • Si el hamiltoniano depende del tiempo entonces la energía no es constante, depende también del tiempo. Esto se saca directamente de la evolución temporal del valor medio de un operador (el hamiltoniano es el operador de la energía), la ecuación tan larga del post.

          • Antonio (AKA "Un físico")

            Si lo que se da en tu experimento es un evento disipativo de fotones al chocar con una barrera de potencial, la forma de modelizarlo no es con esa ecuación que mencionas, sino con las ecuaciones que cité de ese libro. En fin, lo dicho: ¡suerte!.

  20. La paradoja surge no del suceso sino que es fruto del modelo que usamos para explicarlo.
    ¿Son los niveles electrónicos la única forma de guardar energía en el átomo?
    Supongamos un movimiento inverso al de una peonza donde el átomo se encuentra “tumbado” de costado, se levanta y empieza a cabecear en círculos grandes. A medida que el átomo acumula energía aumenta la velocidad de giro y el ángulo de cabeceo disminuye, hasta que el átomo llega a su frecuencia fundamental y emite un fotón. Por lo tanto, el suceso descrito no es un fenómeno de absorción sino de emisión.
    Esta explicación es más clásica que cuántica, pero puede que sirva para nutrir la herramienta hasta que llegue un modelo mejor.
    El modelo anterior funciona si:
    1. La tasa de producción de iones al inicio del experimento es menor y aumenta hasta un valor estable.
    2. Es mucho más difícil reproducir el experimento con materiales sólidos cristalinos.
    3. Existe un umbral de “potencial” de “detuning” (por debajo o por encima) del cual no se produce el efecto.

    • Es cierto que un experimento de este tipo deja muchas incógnitas abiertas a multiples interpretaciones, pero no debemos olvidar una cosa: la teoría semiclásica que es la que se utiliza sirve para explicar el 99% de la casuística, y este es solo un ejemplo. Si yo tuviera que apostar, apostaría a que estamos forzando demasiado el concepto de fotón como comento en el post. Pero es solo una apuesta, una intuición.

      • Es seguro que se debe revaluar el concepto de fotón (volví a leer todo, ahora si que entiendo menos), pero no para complicar más las cosas.
        La descripción que hice es la de un horno microondas de átomos. Pero si se usa la artillería pesada de la física se puede hacer una analogía con un pulsar y poner dimensiones extra que reciban y almacenen la energía para hacer ver que los niveles son discontinuos debido a que “medimos” el “pulso” luego de algunas rotaciones entre dimensiones (unas dentro y otras fuera de la barrera de potencial.) Muy apropiado para las explicaciones a las que acostumbra la cuántica.
        Nota: Me cuesta tanto la idea de eliminar el tiempo que pido una explicación adicional. Ojalá ese artículo se produzca.
        Gracias por un artículo tan interesante que da para usar la imaginación y pasar un buen rato.

  21. En el dibujo de los saltos energéticos hasta la ionización, dejas ver que para llegar a la ionización se hacen dos saltos pequeños y hay un exceso de energía.
    ¿Ese exceso de energía es mayor que el detuning? ¿ Se puede hacer que ese exceso de energía sea menor al detuning?

    No se en que condiciones se ha probado, pero tal vez si el exceso energético es menor que el detuning, no se conseguirían ionizar los átomos.

    • Ahí es donde está la cuestión. En principio se puede ajustar de tal forma que el exceso de energía sea menor que el detuning y se seguirían viendo iones.

      • ¿Pero se ha experimentado de esa forma?

        En el articulo hablas de la incertidumbre tiempo-energía sobre el pulso del láser, pero entiendo que es para que pueda llegar al estado Eb.

        En tu respuesta no dejas claro si se ha configurado con las condiciones que propongo. O es un resultado que se esperaría.

  22. Puesto que tengo poca idea, mi respuesta viene del lado más sencillo: el “vacío” como una fuente de energía que sigue unas leyes probabilísticas.
    A mayor detuning, más improbable que el vacío nos aporte esa energía que falta por lo que el número de ionizaciones baja; pero cuanto más cerca estamos de llegar, más probable es que el vacío nos aporte lo que nos falta y observemos un aumento de ionizaciones. Seguro que hay experimentos en los que se mide el % de ionización en función del detuning! ¿Álvaro? ¿Alguna referencia?

    • Un artículo experimental es este PRL http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.97.243004 Pero por desgracia no abordamos la conservación de la energía.

      Con respecto al acoplamiento con el vacío lo hemos considerado como una posibilidad, pero me preocupa el hecho de que la energía que ganamos no es siempre fija, de hecho es el detuning. Si fuera mediado por el vacío, este acoplamiento tendría un valor fijo y no variable en función de las condiciones del experimento.

      • a mi me cierra por la posibles interacciones que pueda tener el foton con la energia del vacio y me parece logico ya que el vacio deja de ser vacio al formarse materia/energia a razon de 1/2hv

  23. Sin tener ni puta idea me ha gustado una cosa y es que la cuantización no sea absoluta sino relativa, es decir para pasar el electron de un estado a otro con una cierta energia tiene asociada una cierta probabilidad. Es decir si aporamos un 99,99% de energía, el electron salta, con un 99,99% y si aportamos un porcentaje menor salta con una probabilidad menor. Que hay ganancia de energía, puede ser que como dices la energía se obtenga del vacío o de la vibración del núcleo atómico, es decir su temperatura, habría que ver si se producen variaciones de temperatura, si es que eso puede medirse.

    • Del vacío puede ser, aunque no lo creo. Mira el comentario anterior. Ganar energía del núcleo no lo creo por dos razones: las transiciones nucleares se dan a una energía muchísimo mayor que las que manejamos en este artículo, y por otro lado el formalismo matemático que usamos para predecir el efecto no tiene en cuenta los núcleos, y sin embargo lo describe, salvo la conservación de la energía, perfectamente.

  24. Me parece un tanto arriesgado lo de descomponer la función de ondas en “parte fuera de la barrera” y “parte dentro de la barrera”. Las funciones de onda deben verificar propiedades de continuidad y diferenciabilidad, y ninguna de tus dos funciones por separado las cumplen. Solo cuando consideras la función de onda válida en su conjunto es cuando puedes medir su energía (no existen “trozos de función de onda” con propiedades físicas definidas, solo la función de onda total).

    • Tienes toda la razón. Es una licencia que me he tomado para hacer mejor la analogía con el segundo caso. Sin embargo sí podríamos pensar en una forma de mirar solo la parte de la función de onda que está por debajo de la barrera. Es decir un “trozo” de la función de onda completa. En otros contextos, como espectroscopía vibracional, esto se hace de forma habitual para resolver las vibraciones de las moléculas.

  25. Solo por si no os habéis dado cuenta, el que ha escrito esta entrada es Álvaro Peralta, un especialista en física de láseres.

  26. No tengo ninguna formación en cuántica mas allá de blogs como el tuyo y desconozco las razones de por que las cosas son como son. (Aún espero el siguiente videoblog que se quedo en la parte mas interesante)

    Lo primero que me llama la atención es la incompatibilidad de la cuantica con el tiempo. Personalmente me parece que entender el tiempo es la clave que hará avanzar en física, vistos los efectos relativistas me sorprende que el tiempo no sea clave en la teoría.

    Te voy a intentar dar una solución basada en mis hipótesis, que por ahora solo he estudiado algo en el mundo macro. Tampoco se lo que va a salir.

    1) Entiendo que los estados energético son inamovibles por que las bandas espectrales son totalmente precisas. Y por lo tanto no hay variación en la energía de los distintos estados.

    2) Pero podria estar ocurriendo un fenómeno que tiene mucho que ver con el tiempo. Podemos imaginar que en un estado normal el tiempo va normal, y para ese tiempo normal, el electrón emite a la frecuencia esperada.

    Pero me voy a dar la libertad de asumir que el tiempo para el electrón (o el átomo ) puede variar ( ya nos preocuparemos de eso).

    Podemos imaginarnos para ir teniendo un esquema mental simple que el resto del mundo sigue con el tiempo sin alterar.

    3) y me voy a tomar la libertad de asumir otra cuestión, tengo mis razones.
    ´
    Cuando un sistema tiene menos energía del que debiera, el tiempo va más rápido para él y viceversa.

    Y en este caso tendríamos un estado energético Eb’ < Eb ( que es lo que se esperaría por la energía que se usa en los láser).

    Entonces como tiene menos energía, el electrón tendría una "velocidad temporal mayor". Exagerándolo podríamos decir que pasarán 2 segundos para dicho electrón en lo que pasa un segundo para el resto del mundo.

    Por ese mismo efecto, ese electrón al cambiar de nivel, emitirá para el mismo (con su medida de tiempo ) a una frecuencia que depende del salto energético, Eb'. La frecuencia de Eb' es menor que la frecuencia de Eb.
    Pero para el resto del mundo, como la velocidad temporal del electrón es mayor, la frecuencia que emite ese electrón, la veremos aumentada, con blueshift.

    Esto se ve fácil si ponemos una luz en ambos sistemas, que parpadea cada segundo (en tiempo de cada sistema).
    Cada vez que nuestra luz se encienda, la del electrón se ha encendido dos veces.

    Entonces ya tendríamos solucionado el problema, lo que pasaría en realidad es que el nivel energético Eb, no es tan absoluto como se piensa, sino que tiene un intervalo energético, una franja. Pero por las distorsiones temporales del sistema, que al tener menos ( o más ) energía de Eb, las frecuencias emitidas en ese intervalo, tienden siempre a la frecuencia de Eb.

    Entonces vemos que la frecuencia se amolda a la frecuencia de Eb, en este caso estudiado por blueshift, pero podemos asumir con naturalidad que tendría que existir el efecto contrario también.

    Y que existan unos niveles energéticos superiores a Eb ,donde exista un exeso de energía en el sistema y por tanto su velocidad temporal disminuya y en consecuencia sus emisiones tengan redshift.

    Es la primera vez que bajo mi teoría al nivel cuántico, y son conclusiones rápidas pero que veo que podrían cambiar la forma de entender los niveles cuánticos.

    Además propongo una verificación al proponer el mismo efecto pero cuando se añade energía de más. La verdad es que desconozco si ese efecto se puede medir o se ha medido o lo que sea.

    ¿¿Quieres trabajar este tema mas en serio y publicar??

    Saludos

    • Haciendo una re lectura veo que tengo un par de aportaciones más.

      Lo primero, es que no soluciono la cuestión de la conservación de la energía. Ya que el fotón del electrón visto por nosotros tendría la misma energía que para el salto Eb.

      Entonces solo he podido explicar por que se detectan electrones en el nivel Eb. ( en realidad estarían en el Eb'<Eb, pero por distorsión temporal la frecuencia de emisión se ve igual) Pero no puedo explicar el tema de la conservación de la energía.

      Lo segundo, si mi la hipótesis es correcta, tal vez existe una forma "fácil" de comprobarlo. Y es que si para el electrón ( o el átomo), la velocidad temporal es más rápida, el tiempo de emisión debería ser menor. Osea, el proceso por el cual el electrón pasa del estado energético Eb a Ei debería ser menor de lo normal.

      ¿ Cuanto menor?, pues dependiendo del delta que hemos usado en el experimento, que estará relacionado con los niveles Eb' permitidos, y a su vez están relacionados con Eb por el blueshift que deberían de tener para emitir al a frecuencia de Eb. Una vez conocida la velocidad temporal esperada para estos electrones, se podría esperar que su velocidad de transición sea proporcional.

      Vuelvo a apelar a CC para que nos responda si se ha detectado que el periodo de transición es algo menor al normal.

      Saludos!

      • Pues entonces espero las respuestas de Álvaro Peralta , no me di cuenta de quien era el artículo.

      • Hola a los dos!

        Este tipo de fenómenos que mencionáis son correcciones menores en este caso a la teoría general: efectos relativistas, Doppler shifts,… son efectos menores en este caso. De hecho se puede demostrar que no son los causantes de esta ganancia en energía. Por otro lado la ganancia en energía está directamente relacionada con la desintonización del láser de CPR con respecto a la resonancia. Dicho de otra forma puedo ganar tanta energía como pueda desintonizar el láser. Esto hace incompatible que se deba a un fenómeno de este estilo, pq siempre darían una ganancia de energía fija.

        Es cierto que el tiempo es un problema en Mecánica Cuántica. Pero es un problema porque no tiene un operador asociado. En mi opinión la solución está en que estamos “explotando” conceptos de campo perfectos, no dependientes del tiempo como los fotones, para situaciones de interacción. Puede que hablar de fotones en una situación dependiente del tiempo sencillamente no tenga sentido.

        Un saludo!

        Álvaro

        • Perfecto pues, lo intenté al menos 😉

        • Solo una cosa más: ¿Podrías estar atento a las predicciones, por si acaso?

          La mas sencilla es la segunda, no se exactamente cual es el término técnico. No se si es tiempo de transición, de decaimiento. La predicción es que los electrones que consiguen llegar al nivel energético alto (para el caso del átomo de hidrógeno), deberían permanecer en ese estado menos tiempo de lo normal.

          No se si me he explicado bien. Pero creo que es una cuestión que tal vez es fácil de comprobar ( que existen datos ya) y puede ser una evidencia.

          Saludos!

  27. Pingback: La conservación de la energía en ...

  28. ¿Tiene sentido el pensar en que la partícula se mueve atravesando la barrera de potencial como si fuera una trayectoria clasica?

  29. Pingback: La conservación de la energía en Mecánica Cuántica (o no).

  30. Suponiendo que encontrásemos a la partícula del otro lado del potencial (el derecho), ¿Se podría decir que hubo algún momento en el que tuvo una energía E_b (cuando su valor mas probable de encontrarla era precisamente en la barrera del potencial?.

    • En mi opinión no. Yo diría que todo el rato la partícula tiene energía E_i. De hecho si medimos la energía de toda la función de onda en todo momento será E_i. Otra cosa es si medimos solo la parte que está por debajo de la barrera.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s