El condensado de Bose-Einstein — VI


Planck y Einstein

Planck y Einstein

Estamos cada vez más cerca de la predicción del efecto de condensación de bosones.  Siguiendo la línea de las anteriores entradas:

El condensado de Bose-Einstein — I  donde se introdujo el concepto de longitud de onda de de Broglie como aproximación al “tamaño” de una partícula cuántica y se discutió el significado general de partícula en este contexto.

El condensado de Bose-Einstein — II  donde hicimos un resumen del significado y utilidad del principio (teorema) de indeterminación de Heisenberg y su relación con la longitud de onda de de Broglie.

El condensado de Bose-Einstein — III  En esta entrada discutimos el espín y su principal consecuencia, la clasificación de las partículas en fermiones y bosones.

El condensado de Bose-Einstein — IV  Damos la imagen cualitativa del proceso que lleva a un sistema a formar un condensado de Bose-Einstein haciendo uso de los conceptos introducidos en las tres entradas previas.

El condensado de Bose-Einstein — V  Aquí empezamos con la historia que condujo al condensado de Bose-Einstein.  Empezamos con el problema del cuerpo negro ideal y las ideas de Planck que condujeron al nacimiento de la cuántica.

En esta sexta entrega presentaremos un problema oculto en la derivación de la fórmula de Planck para el cuerpo negro ideal. Luego nos centraremos en un trabajo de Einstein en el que se demostró sin genero de dudas que la radiación electromagnética estaba compuesta por paquetes discretos de energía.  A esos paquetes de energía los denominamos actualmente fotones.  Este resultado es esencial para entender el paso que dio Bose posteriormente y que condujo, con un papel principal del propio Einstein, a la predicción del condensado que lleva sus nombres.

El problema con la derivación de la fórmula de Planck

El primer trabajo donde se tratan los bosones, sin mencionarlos porque todavía no se había encontrado la relación entre el espín y la clasificación de bosones y fermiones, lo escribió Bose en 1924.  Es decir, 24 años después desde el nacimiento oficioso de la mecánica cuántica tras la derivación de la fórmula de Planck para el cuerpo negro.  En esa fecha ya se habían fijado los fundamentos de la mecánica cuántica y se estaba progresando rápidamente en su desarrollo. A pesar de todo, y con unas cuantas derivaciones diferentes de la fórmula de Planck, Bose se percató de un detalle incómodo en todas estas derivaciones de la famosa fórmula.

Recordemos el aspecto de la fórmula:

cuerponegro6

En realidad esta fórmula se suele presentar del siguiente modo:

formula

 

Efectivamente no hay un gran cambio total, \nu^2\times\nu=\nu^3, es un arreglo estético más que nada.  Pero esconde una realidad oculta que está presente en todas las derivaciones de la fórmula de Planck para el cuerpo negro.

La cosa oculta se puede establecer así:

formula2

Es decir, en las derivaciones de la fórmula de Planck, a lo largo de 24 años, siempre hay un factor que se deduce por razonamientos clásicos.  El propio Planck usó esos razonamientos clásicos para llegar a su fórmula, la deducción no era (no podía serlo por razones obvias) puramente cuántica.   De hecho, la introducción de la discretización de la energía era una herramienta para poder dar cuenta de la fórmula buscada.  Planck no se creía que la radiación electromagnética estuviera formada por paquetes de energía.

Entonces la pregunta a resolver es:

¿Se puede encontrar una derivación de la fórmula de Planck donde no haya razonamientos puramente clásicos involucrados?

Esa es la pregunta que respondió Bose en su primer trabajo sobre el tema así que ahora introduciremos los elementos esenciales para entender cómo llegó a la fórmula de Planck usando únicamente ideas cuánticas.

Einstein y los cuantos de luz

Era por 1905, el gran año de Einstein, y entre sus famosos artículos de la época estaba este:

On a Heuristic Point of View about the Creation and Conversion of Light (Sobre un punto de vista heurístico acerca de la creación y conversión de la luz).

Es interesante notar que en el título del artículo se puso explícitamente –PUNTO DE VISTA HEURÍSTICO– es decir, que Einstein se curaba en salud avisando a todo el mundo que su trabajo se basaba en intuiciones y no en razonamientos formales y rigurosos.  No está mal.

¿Qué hizo Einstein en este trabajo?

Digamos que Einstein se propuso calcular la entropía de un gas compuesto por moléculas que solo interactúan colisionando entre ellas, un gas ideal, no hay atracciones o repulsiones de ningún tipo.  En este tipo de gases ideales las moléculas se pueden considerar como partículas sólidas que se mueven aleatoriamente por el volumen que ocupan.

Un gas ideal

Un gas ideal

La entropía de este tipo de gases dependerá del volumen que ocupe el gas.  Ahora supongamos que tenemos el gas en un volumen V_0 inicial y con una entropía inicial dada por S_0.  Es decir, si el gas está compuesto por n partículas dichas partículas se mueven por el volumen V_0.

En esta situación inducimos un cambio a un volumen V sin modificar la temperatura exterior ni ningún otro parámetro.  En esa situación la entropía será S.  En el proceso tendremos un cambio de entropía dado por $S-S_0$.

En este momento Einstein aplica la idea de Boltzmann que nos dice que la entropía es el logaritmo del número de configuraciones microscópicas, W, de un estado macroscópico dado en el sistema que estamos estudiando.

S=K_B ln W

¿Cuál es el número W para la variación den entropía S-S_0? Pues el único elemento que podemos determinar es que una partícula se mueve por el volumen V_0, pase a moverse por el volumen V.  Así, tendremos un factor V/V_0, que nos da la idea de cuantas formas puede pasar una partícula ir de V_0 a V.   Como eso es así para las n partículas del gas, podemos concluir que cada una de ellas aporta esa probabilidad y por lo tanto:

W=\left(\dfrac{V}{V_0}\right)^n.

¡Ojo!, este resultado se deriva para partículas que se comportan como bolas sólidas.  Nada cuántico, ni cosas por el estilo. Pero mejor así, ¿por qué?

Porque luego Einstein estudia la entropía de la radiación contenida en un cuerpo negro ideal.  Y el resultado que obtiene para W es sorprendente:

W_{radiacion}=\left(\dfrac{V}{V_0}\right)^{\dfrac{E_{radiacion}}{h\nu}}

Podemos dejar al propio Einstein que nos explique el significado de esta fórmula:

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La radiación monocromática de baja densidad se comporta –siempre que la ley de Wien es válida– en un sentido termodinámico, como si consistiera de cuantos de energía mutuamente independientes de magnitud R\beta\nu/N.

Lo primero, R\beta\nu/N es lo que ahora se interpreta como h\nu, la energía de un cambio de energía.  Einstein, para no complicarse la vida solo estudió la entropía de una radiación electromagnética con solo una frecuencia \nu, un único color, monocromática.  Y, como el mismo dice, se ha basado en la ley de Wien (basada en argumentos clásicos).

Evidentemente, el trabajo de Einstein ahora se puede derivar con total generalidad y no depende de argumentos clásicos, pero eran los tiempos que eran y además es hermoso ver como cosas que hoy son conocidas antes tenían que “inventarlas” por el camino.

Como hemos dicho, para un gas de partículas tenemos:

W=\left(\dfrac{V}{V_0}\right)^n

Y para la radiación en el cuerpo negro:

W_{radiacion}=\left(\dfrac{V}{V_0}\right)^{\dfrac{E_{radiacion}}{h\nu}}

Comparando podemos ver que son iguales y que el factor:  E/h\nu ha de ser un entero y por lo tanto que la energía total de la radiación se puede entender como suma de cuantos de magnitud h\nu.

Por tanto, Einstein demostró, basándose en la entropía de Boltzmann, que la radiación electromagnética se ha de entender como un conjunto de cuantos de energía h\nu.  Es decir, no solo esa es la energía que la radiación le comunica a la materia en su interacción, es que está conformada por cuantos de dicha energía.

Una curiosidad que valió un Nobel

A Einstein le concedieron el Nobel de Física de 1921 (aunque realmente se concedió el 1922 por cosas que pasan).  El motivo se puede leer en la página oficial de los Premios Nobel:

The Nobel Prize in Physics 1921 was awarded to Albert Einstein “for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of the law of the photoelectric effect”.

El premio Nobel de Física de 1921 fue concedido a Albert Einstein “por sus servicios a la Física Teórica, y especialmente por su descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico”.

Por lo que parece no había más remedio que darle el Nobel a esas alturas pero no se atrevieron a mencionar la Relatividad por ningún sitio.  Lo curioso es que cuando te conceden el premio Nobel tienes que da una lección ante la Academia de Ciencias Sueca.   Todo el mundo imparte una lección sobre el tema que le ha valido para ganar el premio Nobel. Einstein no fue menos y procedió a dar la lección que llevaba por título:

Fundamental ideas and problems of the theory of relativity

Dejando claro las cosas que deberían de estar claras.  Te dan el premio por el efecto fotoeléctrico y tú das la lección sobre la relatividad.

Para ser justos Einstein se merecía ganar el Nobel por muchas cosas, antes y después de ganarlo, pero elegir el efecto fotoeléctrico como motivo sabe a poco. Al efecto fotoeléctrico le dedico una pequeña sección en el artículo donde demostró que la radiación electromagnética estaba compuesta por cuantos de energía definida.  Este efecto no se podía explicar mediante la teoría electromagnética clásica pero implementando los cuantos de luz pudo ser explicado de una forma simple y directa.  Indico otra vez el artículo por si queréis buscar la sección que mereció un premio Nobel:  On a Heuristic point of view about the creation and conversion of light.

Pues ya tenemos un ingrediente más para llegar al condensado de Bose-Einstein.

Nos seguimos leyendo…

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7 Respuestas a “El condensado de Bose-Einstein — VI

  1. Pingback: El condensado de Bose-Einstein — VII | Cuentos Cuánticos

  2. Magnifico!!! Gracias

  3. Según el pdf de la lección que indicas…Esa lección NO fue dada por el Nobel Prize en la academia sueca…”The Lecture was not delivered on the occasion of the Nobel Prize award, and did not, therefore, concern the discovery of the photoelectric effect.”

  4. Muchas Gracias “Alejandro”.

  5. Un tema off topic, “Elección retardada de Wheeler”, si pudieras hacer algún comentario con tu didáctica acerca de dicho tema, expuesto ya por La Mula Francis, creo sería interesante. Muchas gracias.

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