Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 1


260px-BurlaNo, no, no lo digo en serio, no es una tontería mía que me crea más listo. El título tiene sentido dentro de la nueva entrada sobre el tema que nos ocupa, EPR, entrelazamientos, etc.  Las entradas anteriores, que se recomienda leer previamente, las tienes aquí abajo:

La cuántica y la realidad, una relación tormentosa

Einstein-Podolsky-Rosen, los campeones de la realidad

La chicha de EPR. Realidad y Localidad

Vamos a hacer un par de juegos, que como veréis no tienen ningún misterio y posiblemente ningún interés.  Pero vamos a aprender una cosa fundamental en todo este tema.  Correlaciones y desigualdades.  Una pasada 😛

Vamos con el primer juego…

 El primer juego

Preparación

El juego se inicia del siguiente modo:

1.-  Yo dispongo de dos millones de piedras idénticas en forma y masa. La única diferencia estriba en su color.  Tengo un millón que son blancas y un millón que son negras.

2.-  Además tengo dos millones de cajas con una puerta superior. Un millón de cajas están etiquetadas con la etiqueta “Para A” y el otro millón tiene la etiqueta “Para B”.  Las cajas A están numeradas del 1 al 1000000, análogamente para las cajas B.

3.-  Dispongo de una moneda perfecta con su cara y su cruz.

4.-  Ahora voy a meter las piedras en las cajas con las siguientes condiciones:

a)  Lanzo una moneda al aire.  Si sale cara meto una piedra blanca, si sale negra meto una piedra negra.

b)  Empiezo a rellenar por la caja A1 de forma que si meto una piedra blanca en ella en la caja B1 meteré una negra y viceversa, si en A1 he de meter una piedra negra en la B1 meteré una piedra blanca.

Con estas condiciones está claro que la probabilidad de que haya una piedra negra o una piedra blanca en cada caja es del 50%. Y que si en una caja An meto una piedra de un color en la caja Bn correspondiente meteré una piedra del otro color.

juego1

Una vez rellenadas todas las cajas te mando a ti y a otra persona en las antípodas las cajas. Tú serás el sujeto A y la otra persona el sujeto B.

Además ambos recibís estas instrucciones:

Cuando abráis las cajas encontraréis que la probabilidad de que la piedra que contiene cada una sea blanca o negra es del 50%.  Más allá, cuando comparéis los resultados encontraréis que cada caja de A y cada caja de B en posiciones idénticas contienen piedras de colores opuestos Blanco-Negro, Negro-Blanco.

Saludos,

Cuentos Cuánticos

El desarrollo

Nos centraremos en ti, el sujeto A.  Al recibir tu millón de cajas te pones manos a la obra y comienzas a abrirlas una a una.  Efectivamente, todo lo que encuentras en las cajas son piedras blancas o negras en cada una de ellas.

Lo primero que tienes que comprobar es que las piedras efectivamente se han metido aleatoriamente en las cajas.  Es decir, que cada caja tiene una probabilidad del 50% de tener una piedra blanca y un 50% de tener una piedra negra.

¿Cómo hacemos eso? La cuestión no es difícil pero tampoco es trivial del todo.  Puedes hacer una lista con tus resultados:

juego2

A la vista de los resultados individuales pues poco se pude decir respecto a la cuestión que nos ocupa.  Sin embargo, ya que eres un sujeto A despierto, le asignas valores numéricos a cada color.  Digamos que eliges que el color blanco valga +1/2  y el valor negro valga -1/2.

juego3

Si sumamos todos los resultados, idealmente, encontraremos que la suma total es cero (en realidad sería cercana a cero, el cero se obtendría con una cantidad infinita de cajas).

Y ahora recordamos cual sería el valor esperado para el color total de una tirada grande de cajas según las condiciones del problema.  Llamaremos a ese valor esperado del siguiente modo <Color>.   Según los presupuestos del problema lo tenemos 50% de blanco o 50% de negro como opciones en cada caja.  Usando los valores +1/2 y -1/2 para los colores y sabiendo que el 50% de probabilidad se puede expresar en tanto por uno como 0.5, lo que uno espera obtener para <Color> es:

<Color>= 0.5(+1/2)+0.5(-1/2)     el producto de la probabilidad por su resultado asociado en la medida.   Evidentemente, en este caso <Color>=0.

Y eso es justo lo que encuentras, por lo tanto puedes asegurar que las piedras se han metido en las cajas de forma aleatoria con una probabilidad del 50% de ser blanca y una probabilidad del 50% de ser negra.

Si todo va bien, eres capaz de predecir lo que va a obtener el sujeto B en sus medidas sobre las cajas.

juego4

Ahora solo falta que B nos mande sus resultados por mail y comparar. No será una sorpresa comprobar que lo que tenemos es:

juego5

Nuestra predicción era totalmente acertada.  Se dice que los resultados están perfectamente correlacionados (anticorrelacionados por aquello que que encontramos valores opuestos y tal). Pero claro, no somos videntes, es que sabíamos las reglas del juego y no importa cuan de lejos esté B ni que no hayamos visto ninguna de sus cajas, la cosa está clara, alguien ha preparado el juego y sabía en todo momento qué color de piedra tenía cada caja.

Es decir, el color de la piedra de cada caja era desconocido inicialmente tanto para ti, sujeto A, como para el otro sujeto B.  Pero está claro que cada piedra tenía un color definido en todo momento y que existía la posibilidad de que alguien, en este caso yo, supiera cual era.

El juego 2 será más interesante y tendrá otras consecuencias muy suculentas para lo que sigue.

Nos seguimos leyendo…

15 Respuestas a “Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 1

  1. Hay una cosa que no entiendo, cuando dices:

    “… por lo tanto puedes asegurar que las piedras se han metido en las cajas de forma aleatoria con una probabilidad del 50% de ser blanca y una probabilidad del 50% de ser negra.”

    Entiendo que puedes afirmar que la distribución Blanca – Negra es del 50 %, pero no creo que puedas afirmar que sea aleatoria, ya que si las hubieses metido con un patrón, por ejemplo BNBNBNBNBN… te daría el mismo resultado, ¿no?

    Gracias por esta serie y felicidades por el blog.

  2. Pingback: Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 1

  3. En primer lugar mi enhorabuena por el blog y el gran trabajo de divulgación que estás haciendo.

    Cuando dices: “Si sumamos todos los resultados, idealmente, encontraremos que la suma total es cero (en realidad sería cercana a cero, el cero se obtendría con una cantidad infinita de cajas)”, estás cometiendo un error bastante común en probabilidad, y es confundir “diferencia” con “cociente” (por usar términos llanos). Me explico: si lanzamos una moneda n veces, el cociente entre caras y cruces tiende a uno, pero la diferencia entre caras y cruces es cada vez mayor. De hecho su valor absoluto tiende a infinito. Es decir a nivel de proporción (cociente) las caras y cruces se igualan (como es de esperar), pero a nivel de diferencia no (y esto es lo que no suele ser intuitivo).
    Aunque la idea de lo quieres decir es clara, hay un error de bulto al decir que en el infinito esa suma sería cero, cuando en realidad su valor absoluto iría creciendo constantemente.

    Un saludo, y espero que sigas con tus magníficos posts.

    • Creo que has perdido el punto donde digo que Blanco = +1/2 y Negro = -1/2.

      Si como tú dices el cociente entre el número de blancos y negros tiende a 1 en el infinito eso implica que aparecen tantos de unos como de otros (aunque no en secuencia alterna, por supuesto). Si eso es así, la suma de blancos tomados como +1/2 y negros tomados como -1/2 tiende a cero.

      El ejemplo está escogido para luego hacer el salto a componentes de espín y el valor esperado es cero en una dirección dada.

      • Me temo que estás en un error. El problema que planteas es equivalente al clásico del paseo aleatorio: situamos a una persona en el punto cero de la recta real, lanza una moneda y si sale cara avanza una unidad hacia la derecha (+1) y si sale cruz avanza una unidad hacia la izquierda (-1). Se repite el proceso sucesivamente, después de n movimientos ¿a que distancia se encuentra del origen?. Según tu criterio, conforme aumenta n, estaría más cerca del origen, llegando a él con infinitos movimientos, pero la realidad es que después de n tiradas la distancia al origen es la raíz de n (la desviación típica), que obviamente tiende a infinito cuando n va aumentando.

        • Creo que estás mezclando cosas. Aquí solo se está calculando el valor esperado, esperanza matemática o primer momento estadístico de los datos. El valor esperado es la suma de los productos de la probabilidad de obtener un resultado por el resultado asociado. En este caso es 0.

          Además como todos los casos son de igual probabilidad ese resultado coincide con la media aritmética de los datos. Que otra vez es 0.

          Ahora bien, si quieres ver ese proceso como un generador de un paseo aleatorio entonces lo que hay que calcular es el valor esperado del cuadrado de la distancia recorrida. Y eso, efectivamente no es raíz de n, siendo n el número de pasos.

          Pero una cosa no tiene nada que ver con la otra.

          • Claro que tiene que ver. Mi crítica se centra exclusivamente en tu afirmación de que la suma de los valores de cada caja tiende a cero, y eso no es verdad. Decir que esa suma es cero equivale a decir que el número de bolas blancas y negras se va equilibrando, y eso no es cierto, de hecho la diferencia entre ellas cada vez es mayor, aunque su cociente sí tienda a uno. El resto de tu argumentación es perfecta, pero ese detalle no.

            • Lo que quiere decir eso es que el número de veces que sale un valor es igual al número de veces que sale el otro. Es lo que da el valor esperado en el experimento. Y sí, la diferencia va aumentando hasta el infinito pero el valor esperado, la media artimética en este caso es nula.

              • El problema es que te falta decir que divides por el número de bolas (la media).

                • ya, pero eso no aporta nada a quien sabe de qué va eso de la media y en este caso es irrelevante 🙂

                  • Cuando dices “Si sumamos todos los resultados, idealmente, encontraremos que la suma total es cero (en realidad sería cercana a cero, el cero se obtendría con una cantidad infinita de cajas).” eso es incorrecto. Si sumas una ristra finita de 1/2 y -1/2, puedes obtener como resultado los siguientes números:

                    0, 1/2, -1/2, 1, -1, 3/2, -3/2… N/2, -N/2 (siendo N el número de elementos)

                    Si la distribución es aleatoria, estará cercana al cero, pero si no da como resultado exactamente cero (que podría dar) lo más cerca que puede estar es 1/2 o -1/2, y por supuesto que “en el infinito” NO es cero (salvo que hagas algo más sofisticado como sumas de Césaro, necesitas que los sumandos tiendan a cero). Por tanto ¡necesitas dividir por el número de elementos para que efectivamente se acerque a cero! Tal vez no sea relevante como bien dices, pero esa afirmación no es correcta y convendría al menos matizarla.

  4. Pingback: Vosotros no lo sabéis pero yo sí. Correlaciones clásicas 2 | Cuentos Cuánticos

  5. Antes de nada,enhorabuena por la serie,es cojonuda.
    1-Creo que cuando dices …’si sale negra metemos una piedra negra.’ te refieres a cruz.
    2-Los coeficientes no serían : = 1/sqrt(2)(+1/2) + 1/sqrt (2) (-1/2)?
    De nuevo, gracias y sigue asi.

    • Bueno, en primer lugar eso no es más que el promedio clásico, Probabilidad x Resultado posible.

      Y aunque estuviéramos en cuántica los coeficientes de los estados entran como módulo cuadrado, siguen siendo por lo tanto las probabilidades.

      Muchas gracias.

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