Mecánica Cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 1


10032087-300x212Hay muy buenos textos de cuántica a nivel divulgativo, los hay muy malos también.  Pero se echa de menos, al menos a mí me pasa, algún sitio que te permita amasar la cuántica con las manos.  Si bien no llegar a ser un experto mundial en el campo sí poder llegar a disfrutar haciendo unas cuantas manipulaciones similares a las que se hace en un problema fácil de mecánica cuántica.

En las últimas entradas nos hemos ido introduciendo en el tema de EPR, entrelazamientos, etc.  El objetivo último es entender qué es eso de experimentos libres de “loopholes” ya que de confirmarse puede que caiga Nobel pronto. Hasta ahora nos hemos limitado a cuestiones clásicas donde la cuántica no aparece demasiado.  Eso va a cambiar, así que hay que meterse en harina con la cuántica.

Esta entrada tiene la humilde intención de presentar recetas para hacer cálculos simples en cuántica.  Hay que seguir unas reglas sin salirse de ellas y listo. Te aseguro que están justificadas por una gran teoría física y matemática y por un siglo de comprobaciones experimentales.  Sigue las reglas y disfruta, a mí me parece que es divertido y agradable poder hacer unas cuantas cuentas cuánticas. Piensa que eres capaz de hacer una créme brûlée sin conocer la teoría de las reacciones de Maillard, solo hay que seguir la receta.

En la serie de entradas sobre EPR, entrelazamiento y esas cosas esta se puede considerar una de transición, una necesaria para introducir formalismo e ideas. Que no te lo cuenten.

Un universo blanco o negro

Estados

Imagina que estamos en un universo que contiene exactamente una partícula. Dicha partícula tiene una propiedad física observable que denominaremos el color.  El color tiene en este universo dos valores que son, desde el punto de vista clásico,  mutuamente excluyentes.  El negro y el blanco.

Los estados los representamos con un símbolo chachi, |\phantom{a}\rangle.  Cuando pongamos algo ahí dentro entenderemos que estamos especificando el estado de dicho sistema.  Ahora lo veremos más claro con nuestro ejemplo de los colores.  Los estados son:

estadobn

Eso quiere decir que nuestra partícula, si está en el estado superior, está en el estado cuántico que tiene color blanco.  Si está en el estado inferior su color cuántico es negro.

Hay que saber que dado unos estados como los que hemos definido hay unos objetos matemáticos compañeros  suyos que surgen de forma inmediata. La cosa es tan chorra como escribir el paréntesis guay al revés:

estadobn1

No seas impaciente, en muy poco vamos a ver para qué sirve esto.  Para empezar podemos decir que jugando con los símbolos |\phantom{a}\rangle\langle \phantom{a}| podemos tener dos combinaciones distintas:  (Ojo, aquí solo nos referimos a la forma que podemos enfrentar esos dibujitos en una línea):

estadobn2

Esta tampoco ha sido tan difícil.

¿Qué significa eso?  Bueno pues la primera opción genera un número. Tu pones dos estados cuánticos ahí y el resultado es un número. Ni más ni menos.

La segunda opción genera una cosa denominada un operador. Es un operador porque opera y le hace maldades a los estados como vamos a ver en un segundo.

¿Qué son estados mutuamente excluyentes?

Estoy seguro de que repito esas dos palabras mucho cuando hablo de cuántica pero también estoy seguro de que más allá de un entendimiento superficial de lo que quiere decir habréis intuido que tiene un significado matemático. El estado negro y el estado blanco son mutuamente excluyentes lo que quiere decir es que:

estadobn4

Eso es lo que significa en este contexto “estados mutuamente excluyentes”. Su producto (esa ordenación de los paréntesis que genera un número) es nulo. Fácil, sencillo y con fundamento.

Otra propiedad importante que nos va a ser útil es que consideraremos que el producto de un estado por sí mismo de estos que estamos definiendo es exactamente igual a 1.

estadobn3

Con esto hemos dado las principales características de los estados. Perfecto, pero, ¿cómo seleccionamos esos estados?

Observables

A primeras luces podríamos pensar que nos hemos sacado de la manga el ejemplito de los estados blanco o negro.  Sin embargo eso no es del todo así. Generalmente para estudiar un estado físico hay que decidir antes qué aspecto del mismo queremos investigar.  En nuestro universo de juguete la elección es fácil de entrada, tenemos el color y esos estados han de comportarse de una forma especial frente al mismo.

Al observable físico de color lo representaremos por \hat{C}.  Un gorrito encima de una letra mayúscula significará que tenemos entre manos un operador.  Lo que sabemos es que cuando enfrentamos el operador \hat{C} al estado blanco o negro el resultado son los mismos estados, blanco o negro, multiplicados por un número.  En nuestro caso resulta:

estadobn5

¿De dónde salen esos números? Para responder eso tenemos que saber cómo actúa el operador \hat{C} sobre nuestros estados así que tenemos que construir dicho operador.  Entonces, la pregunta es:  ¿Cómo se construye el operador? ¿De dónde lo saco? Pues lo tenemos que sacar de lo que tenemos.

Por un lado tenemos los estados blanco y negro.

estadobn

Por otro lado sabemos que podemos enfrentar los paréntesis de forma que actúen sobre los estados (segunda configuración de los paréntesis en la figura):

estadobn2

Así que proponemos que nuestro operador \hat{C} tenga la siguiente forma:

estadobn6

¿Te atreves a calcular lo que sale al enfrentar \hat{C} al estado blanco?

estadobn7

En el primer paso hemos aplicado una ley distributiva y en el segundo hemos usado los productos de los estados blanco y negro entre ellos indicados más arriba.

Al enfrentar \hat{C} al estado blanco encontramos que este no cambia, sigue siendo el estado blanco, solo que sale multiplicado por un número que en este caso es +1.  Decimos que el estado blanco es un estado propio del operador de color.

Análogamente, al enfrentar \hat{C} con el estado negro:

estadobn8

Y ya está, tenemos que el estado negro es otro estado propio del operador de color. Al actuar el color sobre él se queda igual, un estado negro, pero multiplicado por -1.

Bueno, creo que por hoy está bien ya. Nos quedan un par de cosas que solventar sobre esto que aparecerán en breve en estas páginas. Decidme si os ha servido de algo.

Nos seguimos leyendo…

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23 Respuestas a “Mecánica Cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 1

  1. Ricardo Andrés López Doria

    ¿Es acaso el estado negro o blanco un vector propio y 1 o -1 un valor propio según entiendo?

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  5. Muy bueno y muy didáctico.
    La cuántica tiene menos enganche para el público que la relatividad porque aunque ambas se separan de la intución y del sentido común, la cuántica directamente huye de ellos, mientras que la Relavidad sólo se esconde un poco.

    La cuántica es completamente incomprensible para el público. Estas formulaciones matemáticas que aquí tratas de acercarnos (con un esfuerzo didáctico encomiable por tu parte) dan la impresión de ser arbitrarias y caprichosamente elegidas como si un nuevo juego de mesa japonés se tratara. Es incomprensible.

  6. Pingback: Mecánica Cuántica from a dummy. Q...

  7. Voy ha hacer de alumno impertinente, mil disculpas profesor cuentos-cuánticos

    ¿Qué es un estado inferior y uno superior? ¿de qué observación se extrae?
    ¿Por qué los estados tiene unos objectos matemáticos compañeros?
    ¿por qué la opción de la combinación de símbolos de estado genera un número?
    ¿y por qué la opción I><I de los símbolos es un operador?
    ¿qué es un operador de un estado?
    ¿En qué evidencia real se fundamenta que los estados sean mutuamente excluyentes?, ¿qué significa mutuamente excluyente?
    ¿cómo puedo entender que un estado de algo real pueda multiplicarse por el mismo y de un valor numérico de uno?
    ¿Cómo se sabe que los estados reales tiene cualidades distributivas, de adición y de elemento neutro, para usarla con ellos?

  8. Aporto una pequeña reflexión filosófica sobre qué es un estado y su vinculo con el concepto de singularidad, en un universo que se transforma así mismo, desintegrado todo lo que existe para convertilo en una nueva existencia, y que hace de la muerte de la cosas el nacer de otras.

    Considerando que absolutamente todo está sujeto a cambios y que nada es eterno; pues todas las cosas están en un proceso evolutivo de trasformación hacia su total desaparición. El estado singular de un sistema o entidad, es la correspondencia entre lo que cambia mucho y lo cambia menos, porque si todo cambia por igual y al mismo ritmo no habría modo de observar una entidad singular ni su estado de cambio, todo sería homogéneo, idéntico e indistinguible, resultando en un vacío de estados singularidades y por consiguiente de singulares sistemas o entidades.
    Luego la propia singularidad y su estado están descritos por la relación en el conjunto global, entre lo que cambio menos y lo cambia más, para la realidad del universo anteriormente descrita.

    Por otro lado el valor de los estados de dualidad acoplada, es consecuencia de focalizar los parámetros de medida en el centro de una entidad. El centro de una entidad es la simetría entre lo que cambia poco y lo que cambia más, es la relación donde lo que cambia poco sirve de referente fijo y lugar (centro de simetría) para ver lo que cambia más, correspondiendo con el estado de la entidad.
    Pero basta mover el centro de simetría que siempre se mantiene en el centro de la entidad singular, para que la dualidad y la propia simetría, se pierdan.
    Las leyes del universo deberían cumplirse en todo lugar y ser independientes de la localidad, pero eso no se cumple con la simetría y sus estados duales, porque depende de la localidad.

    Seguramente no esté claro los conceptos que he planteado, que suene excesivamente incompresible e ilegible… sepan que no es fácil hacerlo.

    Un saludo

  9. Muy bueno!!!

  10. Se ve muy interesante! Gracias por el trabajo. Saludos desde Chile

  11. Muy buena forma de enseñar la cuántica, aunque veo un herror con la bola negra enfrentando al estado C, pero dices que la arreglarás, esto es maravilloso, no me canso de seguirte.

  12. En la frase
    “Al actuar el color sobre él se queda igual, un estado negro, pero multiplicado por -1.”
    es
    “Al actuar el operador sobre él se queda igual, un estado negro, pero multiplicado por -1.”

    Sin tener la base conceptual para entender realmente que las reglas “están justificadas por una gran teoría física y matemática y por un siglo de comprobaciones experimentales” ¿Cómo se puede obtener la abstracción de tomarlas por ciertas y aplicarlas? ¿debería alcanzar “Sigue las reglas y disfruta”?

    Una duda: ¿Cómo puede ser que la teoría cuántica esté formalizada en una sólida base matemática, comprobada experimentalmente, permita hacer predicciones, dar la base conceptual que permite construir transistores, láseres, reproductores de CD, DVD, etc, pero no haya un consenso en la interpretación? Supongo que será por la diferencia entre modelo de la realidad (que cada vez se perfecciona más) y la realidad.

    Pero es justo esta serie de artículos sobre EPR que puedan mostrar que tan equivocados están los presupuestos que se tengan sobre lo que es “realidad” (y no, “realidad” no es lo que hay en facebook)

    ¡Gracias!

  13. Una forma muy didactica de enseñar el extraño y misterioso mundo cuantico

  14. Hola Enrique.
    Te agradezco muchísimo la labor divulgatva que desarrollas. Especialmente cuando piensas en los dummy, ya que no tengo ninguna preparación ni en el campo de la física ni de las mates.
    Llevo años siguiendo tu blog y me devoro todas tus entradas, aunque la mayoría de las veces no llego realmente a enterarme del todo.
    En esta ocasión (aún a riesgo de meter la pata) deseo apuntar una observación, ya que creo que hay un error en el punto en que enfrentas Č con el estado negro.
    Creo que hay una “bolita” blanca que debería ser negra.
    Seguramente esté yo equivocado.
    Por favor, no te canses de escribir.
    Un saludo.

  15. Muy interesante y ejemplarizante, saludos….

  16. Me encanta. Son las típicas “artimañas” que se le ocurren a un físico el primer día que se le pone delante ( al fin) la notación de Dirac, para empezar a entender todo este asunto. Me acuerdo que hasta se siente uno un poco culpable de buscar estos “atajos” conceptuales al principio, en vez de ser riguroso y estrujarse los sesos con las definiciones de los espacios de Hilbert .

  17. Pingback: Mecánica Cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 1 | El mundo de los locos

  18. Dale 🙂

  19. Gracias! Con apetito del siguiente!

  20. gracias!! desde Chile. continua por favor.

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