Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 6


no-return-signCada vez estamos más cerca del final del camino pero aún nos quedan un par de pasos por dar. Si hemos llegado hasta aquí no merece la pena parar, tendremos que seguir.

Hemos definido estados, estados superpuesto y observables. Hemos operado con ellos siguiendo unas simples reglas y vamos viendo como poner en correspondencia esa construcción matemática con las medidas de los valores que toman los observables físicos en una medida experimental de los mismos.

Para no perder el norte, nuestro objetivo último es el de llegar a entender qué es eso del entrelazamiento y, por ahora tendréis que confiar en el que escribe, estamos consiguiéndolo poco a poco.

Esta entrada también forma parte del segundo bloque el minicurso Mecánica cuántica, EPR, entrelazamiento, desigualdades, loopholes y otras cosas del montón.

Continuemos.

Dos observables, ¿son compatibles?

Recordemos que hemos trabajado con el operador color y que identificamos sus estados propios.  Además determinamos en la entrada anterior que el operador color es hermítico. Esta característica es fundamental para que dicho operador pueda representar a un observable físico.

Resumamos:

1.-  Estados:

estadobn

2.-  Operador color:

estadobn6

3.-  Los estados blanco y negro son propios del operador color:

estadobn5

4.-  El operador color es hermítico:

\hat{C}=\hat{C}^\dagger

Por un teorema matemático sabemos que los estados propios de un operador hermítico han de ser ortogonales y que siempre los podemos hacer de módulo 1 cuando los pensamos en términos vectoriales.  Eso se traduce en las relaciones que introdujimos en las primeras entradas de este bloque:

estadobn14

5.-  Aprendimos a calcular los valores esperados del operado color en diversos estados propios o no propios.

Todo ello es válido para la disposición experimental que intenta medir el color de un sistema cuántico:

medida1

Pero nos podemos encontrar con la situación que tengamos la posibilidad de medir la característica de color en dos direcciones diferentes:

dos3

Asumimos por el momento que este dispositivo experimental puede medir el color en la dirección 1 o la dirección 2 pero no ambas a la vez.  Eso lo representamos diciendo que cuando decidimos medir en una dirección la pantalla de la otra dirección se bloquea.  Tiene que quedar claro que este es un truco que estamos introduciendo porque es la propia naturaleza la que nos dice que no es posible determinar el color en dos direcciones opuestas.  Aquí aparece el principio de indeterminación como vamos a ver en breve.

Para trabajar con la situación descrita hemos de introducir dos operadores y dos conjuntos de estados:

dos6

Llegar a esas expresiones es fácil, tan solo hay que seguir la lógica de las anteriores entradas de este bloque.  Pero trabajar con dos conjuntos de estados suele ser dificultoso.  Es mucho mejor elegir un conjunto de estados básicos y expresar todo lo demás en términos de ellos.

Nosotros vamos a trabajar con el conjunto de color en la dirección 1. Esos serán nuestros estados básicos.  Ahora el trabajo consiste en determinar qué forman tienen los estados y el operador de la dirección 2. Las sorpresas están por llegar.

Iremos por pasos:

1.-  Nosotros sabemos que los estados blanco y negro en la dirección 1 y dirección 2 son, respectivamente, propios de \hat{C}_1 y \hat{C}_2.  Dado que esos operadores son hermíticos dichos vectores son ortogonales entre ellos en cada dirección:

Esto se cumple en las dos direcciones.

Esto se cumple en las dos direcciones. Basta cambiar los 1 por los 2 (que indican la dirección de medida del color) en los estados.

La pregunta que tenemos que responder es la siguiente:

¿Podemos expresar los estados blanco y negro y el operador de color en la dirección 2 en términos de los estados blanco y negro de la dirección 1?

Sigamos estos pasos:

1.-  El estado blanco en la dirección 2 se expresará en términos de los estados blanco y negro en la dirección 1.  La forma más general sería:

camba1

Por supuesto esta es la forma más general permitida. Tendríamos que asegurarnos que en realidad hacen falta los dos estados, blanco y negro, de la dirección 1.  Hay que determinar el signo y, por supuesto, el valor de los coeficientes.

2.-  Para determinar los coeficientes hemos de mirar el resultado de muchas medidas de color en la dirección 1 sobre el estado blanco en la dirección 2 (análogamente para el estado negro en la dirección 2).

El resultado experimental en nuestro esquema experimental es el siguiente:

camba2

A la vista de los resultados experimentales podemos afirmar que seguro que el estado blanco en la dirección 2 tiene componente blanca y negra de la dirección 1 ya que obtenemos ambos estados resultantes de las medidas.  Además, como la probabilidad de obtener blanco o negro en la dirección 1 partiendo del  estado blanco en la dirección 2 es del 50% los coeficientes que acompañan a cada estado en la superposición han de ser \frac{1}{\sqrt{2}}.

Los estados estarán de esta forma:

camba3

3.-  Fijar el signo no es sustancial en lo que nos ocupa, (para los muy campeones: sí es necesario fijar una fase que no es importante en este ejemplo).  Así podemos determinar por convenio la siguiente forma de los estados propios en la dirección 2:

camba4

Os dejo a vosotros la tarea de comprobar que se cumplen estas relaciones, conocidas las relaciones de los estados de la dirección 1:

camba5

Muy fácil, ¿verdad?

Ahora solo nos queda escribir el operador \hat{C}_2 en términos de los estados blanco y negro en la dirección 1. Os dejo como ejercicio demostrar que la forma que toma dicho operador expresado con los estados mencionados es:

com5

¿Cómo lo veis?

Os recomiendo que intentéis comprobar varias cosas:

a)  Que los estados propios del operador color en la dirección 1 no son propios del operador color en la dirección 2.

b)  Que el operador color en la dirección 2 también es hermítico.

c)  Que calculéis el valor esperado del operador color en la dirección 2 en varios estados.  Un estado propio del operador color en la dirección 1, uno de sus estados propios propiamente dicho, una superposición de estados de color en la dirección 1 y una superposición de estados de color en la dirección 2.  ¡Ánimo!

Por fin llegamos al tema central de hoy.  ¿Son compatibles los operadores \hat{C}_1 y \hat{C}_2?   Esa pregunta puede parecer un poco engorrosa, lo es, pero si la transformamos en términos matemáticos todo se reduce a calcular si esos operadores conmutan.  Es decir, si da lo mismo aplicar sobre un estado arbitrario \hat{C}_1\hat{C}_2  que \hat{C}_2\hat{C}_1.   Eso se comprueba con el conmutador entre operadores.  El conmutador entre un operador \hat{A} y otro operador \hat{B} no es más que la siguiente operación:

\left[\hat{A},\hat{B}\right]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}

Si el resultado es:

\left[\hat{A},\hat{B}\right]=0

diremos que esos operadores conmutan.

Si el resultado es:

\left[\hat{A},\hat{B}\right]\neq 0

diremos que esos operadores no conmutan.

¿Nos atrevemos a calcular el conmutador entre los operadores de color en las direcciones 1 y 2?

com1

A simple vista eso no tiene mucha pinta de poderse calcular.  Pero la cosa cambia si nos acordamos de que hemos hecho la tarea de poner ambos operadores en términos de los mismos estados.

com4

Esto seguro de que si habéis llegado hasta aquí no os resultará complicado demostrar que el resultado de ese conmutador es:

com3

Es interesante que hagáis ese cálculo y que os convenzáis de que el resultado no es ningún operador conocido que hayamos introducido anteriormente.  ¿Qué es ese operador que sale del conmutador entre los operadores de color entre la dirección 1 y la dirección 2?  Guardadlo en vuestras cabezas porque este resultado es alucinante en muchos sentidos. ¡Paciencia!

Con esto hemos demostrado que los operadores de color en la dirección 1 y en la dirección 2 no conmutan.  Es un buen momento para dejarlo aquí.  En la próxima entrada discutiremos la importancia de no conmutar.  Vamos, ¿a que todo esto mola?  ¡Estáis haciendo cuántica!  🙂

Nos seguimos leyendo…

11 Respuestas a “Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 6

  1. No sé donde me equivoco pero siempre me sale que el operador en la dirección 2 resulta I 1b > < 1b I , es decir, que ambos sumandos me salen con signo positivo.
    Por otro lado tampoco entiendo cómo podría resultar hermítico de tener el signo negativo… Con el resultado que me sale a mí sí está claro que lo sería pero claro… si está mal no sirve de nada.
    Me he debido perder en algún punto jeje

  2. Caramba, he estado haciendo los ejercicios y me parece que pueden haber algunos errores. Voy a representar los estados blanco y negro como lb> y ln>:
    Actualmente dice en la entrada que Ĉ₂=l1b><1bl.
    Si este comentario sale bien, envió el desarrollo completo.

  3. Puse el desarrollo en:
    https://dl.dropboxusercontent.com/u/81929199/Operador.txt
    Espero que se entienda y disculpen mi insistencia.

  4. Caramba, no sé qué está pasando, pero trato de enviar un desarrollo donde muestro que el operador color en la dirección 2 escrito en términos de los estados propios de la dirección 1 me resulta igual pero sin los coeficientes 1/2, y, cuando lo envío, sale todo mal.

  5. Diablos, algo salió mal. Lo repito:
    Le doy y le doy vueltas y en vez de:
    Ĉ₂=½|1b>=[(1/√2)|1b>+(1/√2)|1n>]
    |2n>=[(1/√2)|1b>-(1/√2)|1n>]
    <2b|=[(1/√2)<1b|+(1/√2)<1n|]
    <2n|=[(1/√2)<1b|-(1/√2)+(1/√2)|1n>][(1/√2)<1b|+(1/√2)-(1/√2)|1n>][(1/√2)<1b|-(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)<1b|

    No logro encontrar el error.

  6. Le doy y le doy vueltas y no puedo avanzar porque en vez de:
    Ĉ₂=½|1b>=[(1/√2)|1b>+(1/√2)|1n>]
    |2n>=[(1/√2)|1b>-(1/√2)|1n>]
    <2b|=[(1/√2)<1b|+(1/√2)<1n|]
    <2n|=[(1/√2)<1b|-(1/√2)+(1/√2)|1n>][(1/√2)<1b|+(1/√2)-(1/√2)|1n>][(1/√2)<1b|-(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)(1/√2)<1b|
    ¿Dónde está el error?

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