Un kilo de plomo y un kilo de paja en Órbita Laika


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Esa es la pregunta que nos proponían el pasado miércoles/jueves en Órbita Laika y sí, es una pregunta que tiene un truco de esos de pensar un poco.  Personalmente siempre he tenido debilidad por esta pregunta porque para responderla hay que tener en cuenta muchos detalles físicos y el desarrollo es todo un ejercicio de argumentación física.

El vídeo del programa lo podéis encontrar aquí: Órbita Laika 15.  La respuesta la dan en los últimos minutos pero recomiendo muy mucho verlo entero, es un programón.

La cosa es que la respuesta dada en el programa es que es FALSO lo que suscitó cierta discusión en tuiter.  Vamos a explicar la lógica de la respuesta.

Masa, aceleración, gravedad y peso

balanza-manzanasLa masa, eso que medimos en kilos no es más que una medida de la cantidad de materia de un determinado sistema.  Si decimos que tenemos 1kg de algo estamos indicando su cantidad de masa.  Si decimos que tenemos 2kg del mismo sistema entonces tenemos el doble de cantidad de materia.

La masa, también indica otra propiedad de los sistemas físicos, nos informa de su inercia.  La inercia es la facilidad y dificultad con la que un sistema acelera al ser sometido a una determinada fuerza.  Eso no es más que la segunda ley de Newton.

F=ma

Una fuerza aplicada sobre un cuerpo produce una aceleración.  Lo que sabemos es que si tenemos una fuerza F fija y la aplicamos a una masa de 1kg, 2kg, y 3kg, la aceleración en cada caso será menor.  El cuerpo de 1kg acelera más que el de 2kg y este más que el de 3kg.  Para que el cuerpo de 2kg acelere en la misma cantidad que el de 1kg hay que aplicar el doble de fuerza sobre él.  La lógica está clara.

El peso es una fuerza, el peso es la fuerza con la que la Tierra tira de un cuerpo.  Es el efecto de la gravedad de la Tierra sobre los cuerpos.  Para simplificar diremos que la gravedad terrestre tiene un valor de 10, ¿en qué unidades?  Las unidades son metros por segundo al cuadrado (m/s²) que son las unidades de aceleración.  Así que, en las inmediaciones de la Tierra, la gravedad se expresa como una aceleración.  Y esa es la misma aceleración en todos los cuerpos (siempre que estén a la misma altura sobre la superficie de la Tierra).

apples-falling

Todos los cuerpos están sometidos a la misma aceleración de la gravedad (siempre que las diferencias de distancias hasta el centro de la Tierra no sean muy diferentes).

El peso de un cuerpo es la fuerza que obtenemos al multiplicar la masa del mismo por la aceleración de la gravedad, que representaremos por g:

P=mg

Como toda fuerza, el peso tiene una dirección y un sentido.  El peso está en la línea que une el cuerpo con el centro de la Tierra y apunta hacia él.

peso1

La masa se mide en kilogramos y las fuerzas se miden en Newtons (que no es más que el nombre para la unidad kg m/s²).  Si tenemos 1 kg el peso sería 1×10 N= 10 N.   Pero como todos los cuerpos (en nuestras inmediaciones) están sometidos a la misma aceleración de la gravedad simplificamos en el lenguaje cotidiano y decimos que pesa 1kg, lo que quiere decir que pesa 10 Newtons.

Un detalle importante es el siguiente:  ¿Qué pasa si en el caso anterior tiramos del cuerpo hacia arriba con una fuerza F?

peso2

Está claro que si intentamos pesar el cuerpo ahora, es decir, con qué fuerza está siendo tirado hacia el centro de la Tierra encontraremos un peso neto o aparente menor.

P_{ap}=P-F

peso3

Vamos, todos tenéis una experiencia empírica de esto porque seguro que habéis subido la bolsa de fruta cuando os estabais pesando vosotros mismos la compra en una gran superficie.  Eso es el peso aparente que es lo que mide el aparato. Sí, ya lo sé, luego lo dejáis tranquilo para sacar el ticket sin trampas, aquí solo entran buenas personas.

Densidad y volumen

Todo cuerpo tiene un volumen (V) y todo cuerpo tiene una masa (m).  Es casi un salto trivial hacer el cociente de la masa del cuerpo entre su volumen.  Es una forma de saber cuánta masa tenemos por unidad de volumen.  A esa cantidad se le ha dado un nombre, la densidad (\rho).

\rho=\frac{m}{V}

Así que sabiendo la densidad de un tipo de materia y la masa total que tenemos del mismo podemos determinar su volumen fácilmente:

V=\frac{m}{\rho}

Pongamos dos ejemplos… Eeeeeehhh, así a bote pronto, paja y plomo.

La densidad de la paja (bien comprimida) es de:  150 kg/m³.

La densidad del plomo es de:  11340 kg/m³.

El metro cúbico (m³) equivale a 1000 litros de volumen. Se define como el volumen delimitado por un cubo de un metro de lado.

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Supongamos que tenemos 1 kg de paja y 1 kg de plomo. ¿Qué volumen ocupan?

V_{paja}=\frac{1}{150} (m³)

V_{plomo}=\frac{1}{11340} (m³)

Para hacernos una idea de cuanto mayor es uno que el otro dividamos:

\frac{V_{paja}}{V_{plomo}}=\frac{11340}{150}=75.6

Eso quiere decir que un kilo de masa de paja ocupa un volumen 75.6 veces mayor que el volumen ocupado por un kilo de masa de plomo.

¿Cuánto pesa un kilo de paja y un kilo de plomo?

Ahora nos preguntamos por cuánto tira la Tierra de un kilo de paja y un kilo de plomo.  La respuesta ha de ser inmediata, si ambos están sometidos a la misma aceleración de la gravedad y si ambos tienen la misma masa, ambos pesan exactamente lo mismo.

Todo es correcto, la masa es la misma, la aceleración de la gravedad es la misma por lo tanto el peso ha de ser el mismo.

Pero falta un detalle, eso sería totalmente cierto si midiéramos el peso de los cuerpos en el más puro vacío. Pero nosotros estamos inmersos en un fluido, el aire y aquí es donde entra el bueno de Arquímedes para dar la sorpresa.

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Todo cuerpo sumergido en un fluido

El principio de Arquímedes dice algo así:

Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de empuje hacia arriba igual al peso del volumen desalojado.

Aquí una explicación visual:

peso4

Si el cuerpo tiene un volumen V al meterlo en el fluido desplazará un volumen V del mismo fluido.  Eso genera una fuerza de ascenso que se denomina empuje E.  Es lo que sentimos todos cuando intentamos hundir una pelota en una piscina.

Ahora bien, ¿Qué ocurre si intentamos medir el peso del cuerpo en dicho fluido?  Recordemos que lo que miden nuestros aparatos es el peso neto o peso aparente y como hemos explicado antes será la diferencia entre el peso producido por la gravedad y la fuerza que se opone.

P_{ap}=P-E

¿Cómo calculamos el empuje?  Fácil, determinando el peso del fluido que se ha desalojado.  Para ello tenemos que conocer el volumen que ocupa el cuerpo y la densidad del fluido.

Si estamos en el aire, su densidad es de:  1.24 kg/m³. (Temperaturas usuales)

La imagen que tenemos es:

peso5

La masa de aire desalojado por la paja la determinamos por medio de la densidad del aire y el volumen que ocupa la paja:  m=\rho\cdot V

La masa de aire desalojado por la paja será:

m_{aire/paja}=1.24\cdot\frac{1}{150}=0.0083kg

La masa de aire desalojado por el plomo será:

m_{aire/plomo}=1.24 \cdot \frac{1}{11340}=0.00011 kg

Ahora tenemos que calcular el peso de ese aire desalojado en cada caso que nos dirá el empuje hacia arriba.

El peso de aire desalojado por la paja, lo que nos da la magnitud del empuje que sufre la paja hacia arriba, será:

E_{paja}=P_{aire/agua}=m_{aire/paja}\cdot g= 0.0083\cdot 10=0.083 N

El peso de aire desalojado por el plomo, lo que nos da la magnitud del empuje que sufre el plomo hacia arriba, será:

E_{paja}=P_{aire/agua}=m_{aire/paja}\cdot g= 0.00011\cdot 10=0.0011 N

Por supuesto, el peso que sufren ambos cuerpos, paja y plomo, por acción de la gravedad es el mismo, es su masa multiplicada por la aceleración de la gravedad, por lo que ambos tienen 10 N de peso (en el vacío).

Ahora el peso aparente es fácil de calcular:

El peso aparente de la paja será la diferencia entre su peso y su empuje:

P_{ap/paja}=P_{paja}-E_{paja}=10-0.083=9,917 N

P_{ap/plomo}=P_{plomo}-E_{plomo}=10-0.0011=9.9989N

Así que sí, un kilo de masa de paja pesa menos que un kilo de masa de plomo porque nosotros determinamos el peso aparente cuando hacemos las medidas.

Pero no os preocupéis, cuando en una tienda nos venden un kilo de plomo o un kilo de paja no nos venden cantidad de materia sino peso, es decir, que nos dan en los dos casos la cantidad de materia que corresponde a un peso de 10 N de peso aparente.

Me encanta este ejercicio, pero creo que ya lo había comentado.

Nos seguimos leyendo…

 

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34 Respuestas a “Un kilo de plomo y un kilo de paja en Órbita Laika

  1. GENIAL!!! Lo evidente no lo es tanto. Me hicieron esa pregunta cuando tenía 10 años y se me quedó grababa. Es un alivio constatar que los que estaban equivocados eran mis profesores 🙂

  2. Qué mierda de comentarios que tienes que aguantar. Gracias por compartir. Simple pero precioso razonamiento.

  3. Al leer tu entrada, sentí un ligero impulso de mencionar que habías escrito mal los subíndices de la razón entre la paja y el plomo. Luego vi bien y noté que no había error, más bien yo me confundí al sustituir los valores.
    Así que decidí venir a los comentarios por si alguien igualmente se había confundido pero me encontré que algunos no vieron más allá del título y decidieron responder con sus propias ideas y teorías personales sin tener en cuenta si quiera el sistema físico (de las variables y constantes, que es clásico y no cuántico) y poco faltó para que hablaran sobre que todo es una onda y que con tu mente puedes variar el peso de las cosas y que nada existe y que todo existe y otras chorradas.
    En fin, saludos. Seguiré leyendo 🙂

  4. Buenas…que lo mismo ya estoy dormido… Pero no habría que tener en cuenta el peso de la atmosfera que empuja al plomo y a la paja?

    El volumen de paja hace que esta sea más alta y por tanto la presión sobre ella es un poco menor, pero el area e más grande así por ese lado la fuerza es mayor que en el plomo…no se si me estoy liando XD XD

  5. El tema está mal planteado. No “pesan” lo mismo, sino que debería decir “Un kilo de paja y un kilo de plomo tiene la misma acelaración en el mismo campo gravitatorio ???”. Lo que produce la fuerza sobre los objetos es el campo (acción a distancia) y esa fuerza produce una aceleración que es la misma para ambos cuerpos. La aceleración G, es una constante y es igual a la relación entre la fuerza de atracción y la inercia a ser sacado de su estado de reposo. En el caso de la tierra, esa fuerza es el el peso y la masa es una medida de ese cuerpo a ser sacado de su estado de reposo o de velocidad cte (la masa como “cantidad de materia” es un concepto erróneo). En conclusión: una pluma y un kilo de plomo tirado desde una torre, en estado de vacío (estado completamente ideal), llegan ambos al mismo tiempo al piso, si se tiran simultáneamente. Si no es así en la práctica es por el efecto del aire y el rozamiento sobre la pluma y el plomo. Si nos referimos al peso este es igual a la aceleración del sistema gravitatorio por la inercia que presenta el cuerpo a ser sacado de su estado de reposo o movimiento.

  6. Como con todo este tipo de cuestiones, la parte complicada suele estar en la interpretación. Si uno define exactamente qué quieres decir, la pregunta deja de ser objeto de un eterno debate.

    La interpretación que me parece más razonable sería aquella que se podría dar en la práctica. Es decir, que si un vendedor me ofrece pesado 1 kilo de paja y 1 kilo de hierro, en la realidad parecería que dicho vendedor quién pierde en ambas ocasiones, aunque pierde menos con el hierro puesto que P – E = 10 N para ambos y el empuje del aire para la paja es mayor, por lo que tiene que poner más para compensar. En realidad, el vendedor no pierde nada, porque las balanzas comerciales están calibradas para medir masas convencionales, que ya incorporan el efecto de flotación de tal manera que el error se minimiza en la pesada.

  7. Nunca me había parado a pensarlo tan detenidamente, simplemente daba por hecho que pesaban lo mismo.. Pero no estamos en la luna (sin aire)…
    Es también un poco como lo de medir el valor de la aceleración en la superficie terrestre, hay que contar la fuerza centrífuga por el hecho de que la Tierra esté girando…
    Sólo un detalle, podrías haberlo expresado también en kilopondios o kilos, como medimos el peso más habitualmente los terrestres.
    Un saludo, muy buenos los posts!!

  8. Pesan lo mismo porque el peso es el mismo. Nadie ha preguntado por el peso aparente. Peso es la fuerza con que la tierra atrae a un cuerpo, y eso es independiente de que además existan otras fuerzas, como el empuje de Arquímedes.

    La acepción de peso como peso aparente (peso menos empuje hacia arriba) es muy secundaria, y seguro que viene bastante más abajo en el diccionario. Y más abajo seguramente también pondrá algo como “importancia que se da una cosa”. Pues entonces para una vaca el kilo de paja seguro que tiene más peso…

    • Sí, sí, es tan secundario que las balanzas solo miden pesos aparentes. Esto va de física no de posición de acepciones en el diccionario.

      • tronco, acabo de descubrir tu blog, y esta guay, y este articulo lo voy a compartir; es claro, obvio, comprensible, meridiano, evidente, terminante, notorio, declarado, y manifiesto que la disyuntiva (plomo-paja) se plantea como una curiosidad y un ejercicio de raciocinio, y me asombra ver cuanto tocapelotas obtuso quiere reescribir el “método de Descartes” “descubriendo” que la cuestión que planteas es “absurda”;
        Propongo un título más “riguroso”: “Cuando pones en una báscula 1 kg de plomo y otro de paja ¿Cuál de los dos pesa más?”

  9. Seguí así genio! buena página como siempre!

  10. Asi es, cuentos cuanticos.
    Pongamos el ejemplo de un átomo. Su masa se concentra practicamente en su totalidad en el núcle y el resto es espacio “vacío”, la ponderación de este hecho supone que el tanto por ciento de vacío respecto a la totalidad del átomo viene a ser del del 99,99999999999… %. Sabiendo que “el cuanto” de masa o minima agrupación de elementos coincide con G (O al contrario), ya esta constante significa igual la superficie ocupada por los 6,7384 elementos, la acción choque de supuestos gravitones supone la fuerza gravitatoria unitaria o elemental. Es decir la constante que multiplica al producto de las masas divididas por la distancia al cuadrado.
    Según lo dicho esta fuerza elemental será de 6,7384 · 10^-11 (N m^2)/Kg^2
    Es decir sus factores de10 son 100%-99,99999…% % = 10·10^-11

    (“La cuantica y sus razones”)

    • Lo siento pero eso no tiene ningún sentido.

      • Decir que no tiene sentido, se puede decir, antes de conocer todos los pormenores. Por ejemplo no es sencillo de entender si se considera la gravedad casi como un misterio.
        Y tampoco si no se entiende que la mínima acreción geométrica y simétrica de partículas es de 7 elementos, pues el 1 no nos vale, ya que el uno no es acreción. La superficie que estos siete elementos oponen a la presión cósmica o de vacío (Como si de una barrera se tratase, es el equivalente 6,7384 unidades de superficie).
        Los cálculos, no muy laboriosos, conducen a G.
        Es solo una forma de llegar a la constante por un metodo matemático-geométrico, intuitivo y fácil de asimilar.
        Obtener G empiricamente es muy difícil, y de hecho la exactitud de su valor deja mucho que desear. Tampoco el método que describo es exacto según el valor establecido para G. Existe una exigua discrepancia.
        La cantidad de variables que se dan y sus desviaciones, no permiten sino
        la aproximación incierta de decimales.
        Calcular el grado de vacío de la materia, tampoco puede ser exacto porque aparte de radios y volúmenes tambien entra en juego la densidad de las partículas aún desconocidas en la composición de elementos.
        Pero sí, con ese porcentaje de vacío , que se da según varios autores, las cuentas cuadran.

        • Esta es una teoría que tú tienes en tu cabeza, que me parece muy bien, pero que en ningún caso es física.

          • No solo está está en mi cabeza, sino en uno de los apartados de mi trabajo “LA CUANTICA Y SUS RAZONES” y en algún otro.
            Autor: Fandila Soria Martínez

            [PDF]La cuántica y sus razones – Emilio Silvera Vázquez
            http://www.emiliosilveravazquez.com/…/LA%20CUANTICA%20Y%20SUS%...

            Entre otros.

            • Vayamos a la vía rápida. ¿Tienes el cálculo del espectro del hidrógeno con tu teoría? ¿Tienes el cálculo del desplazamiento Lamb del mismo? Y ya que estamos, ¿tienes hecho el cálculo del factor giromagnético del electrón y que coincida con 12 cifras decimales con el experimento?

              • Pero a qué viene eso. Esta partícular “teoría” no trata de descubrir nada nuevo, es una forma sui genéris de explicarse algo que ya es evidente. La realidad supera a la ficción. Si puede obtenerse o no el factor giromagnético del hidrógeno con estas nociones, no lo sé. Aquí se trata de ponderaciones más generales. Para lo otro ya hay sistemas de estudio, formulas y ecuaciones, y como no, experimentos.Tampoco serían imprescindibles tantas cifras decimales, cuando el hecho es que ninguna constante física es exacta. Tal vez si nuestro sistema matemático pudiera renormalizarse de alguna forma, como proponía Planck, la cosa fuese más sencilla. Algo que realmente solo se limitaría a ciertos procesos.

  11. Encuentro pesimo lo q hicieron para empezar la pregunta es q pesa mas…en el vacio asi q chao empuje pero el asunto es otro la pagina se llama cuentos cuanticos no cuentos de la ensenanza preescolar , mas respeto por favor

  12. Pingback: Un kilo de plomo y un kilo de paja en Ór...

  13. La constante de gravitación G= 67384 · 10^-11viene a significar el porcentaje no vacío de la materia donde la gravedad actúa, por el resto los supuestos gravitones colarán como Pedro por su casa.
    En la materia normal no importa cual sea su densidad respecto a la gravedad, porque el número de “impactos gravitacionles” es el mismo, ya que la masa es la misma, o porcentaje donde la gravedad actúa, aunque los vacíos fueran mayores o menores.
    El resto de consideraciones son circunstanciales, como la velocidad adquirida en el medio aéreo o del que se trate.

  14. Como dije en su día ¿Qué es peor de transportar? ¿Un kilo de paja o un kilo de hierro?

  15. Continua aquí mi comentario, que por arte demiurgo se envió solo.
    Me puse a mirar el programa, y después de hacerlo llegué a dos conclusiones, a saber:
    Lo considero un programa para gente inteligente, que tendría como objetivo tratar dejar de serlo.
    Es solo mi opinión, reconozco que mis opiniones no suelen ser muy bien acogida por los que las reciben, sin importar el tema.

    Es un don que tengo.

    Rubén Ardosain

  16. La explicación está buena y didáctica, hasta ahí todo bien.
    Pero, el maldito pero siempre, es que no es lo que me hizo leer el artículo ; Lo hice porque el título se nombró a Órbita Laika : Un programa de la TV española que nunca había visto ni sabía de el.

  17. Y todo esto es porque, lo que miden las básculas no son kilogramos, sino kilopondios (esos olvidados). 🙂

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