Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 8


1911_Solvay_conferenceDespués de unos días alejados de la cuántica más pura por estos barrios retomamos el minicurso de divulgación participativa 😉

Mecánica cuántica — Divulgación participativa

Hoy toca dar una última pincelada al tema que hemos desarrollado.  Con esta terminamos la introducción que necesitábamos para poder introducir el entrelazamiento cuántico como es debido y proseguir nuestro estudio de estos temas.

La simplicidad de lo complejo

2000px-Bullshit.svg

Tengo que confesar que os he mentido un poco. (Si no has pillado la imagen que da entrada a esta sección no pasa nada, es una tontería, es que en inglés una mentira gorda se dice bullshit, en fin).  Aquí hemos presentado manipulaciones de expresiones matemática y nos hemos visto enfrentados a coeficientes y a estados que le damos la vuelta y los agrupamos para formar productos, etc.  Pero he escondido algo. Lo siento.

En mecánica cuántica los estados y los coeficientes de los estados en superposición pueden ser complejos.  ¿Cómplejos?  Sí, eso que involucra a i, la unidad imaginaria.

Imaginemos que tenemos un número tal que al elevarlo al cuadrado nos da -1.  ¿Qué pasa? Por imaginar no va a pasar absolutamente nada.  Como ese número es imaginario lo vamos a denotar por i.  Así que tenemos:

\Large{i^2=-1}

Y ya está, eso es el elemento que necesitamos saber.  Bueno, eso y alguna que otra cosa como estas:

1.-  Los números complejos son números que se pueden escribir de la forma:

a+ib,

donde a y b son números reales de toda la vida.  Así, a a la denominamos la parte real del número complejo y a b la denominamos la parte imaginaria (eso es porque multiplica a la unidad imaginaria).

2.-  Cualquier número real a, se puede considerar como un número complejo cuya parte imaginaria ha sido cercenada:  a = a+i0.

3.-  Existe una operación denominada conjugación y representada por ()*, eso indica que hay que hacer el complejo conjugado de la expresión que tengamos entre paréntesis, que consiste en cambiar el signo a todas y cada una de las i que veamos en una expresión matemática.  Así tendremos:

i^*=-i

(ib)^*=-ib

(a+ib)^*=a-ib

(a-ib)^*=a-(-i)b=a+ib

Por supuesto, el complejo conjugado de un número real es el propio número real.  Los reales son insensibles a la conjugación compleja.

4.-  Pasa algo curioso cuando multiplicamos un número complejo z=a+ib por su complejo conjugado z^*=a-ib:

z^*z=(a-ib)(a+ib)=a^2+iab-iba-(ib)^2=

=a^2-(i)^2b^2=a^2-(-1)b^2=a^2+b^2

Esa propiedad es muy útil en lo que sigue.

Repasemos un poco sobre estados

Como dijimos, los estados se representan con una casita tumbada y a esta se le podía dar la vuelta:

estadobn1

Y dijimos que podíamos tener superposición de estados:

estadobn15

Aquí a a  y b se les denomina coeficientes de la superposición y tienen que cumplir que a^2+b^2=1 (lo que se denomina condición de normalización.  Pero claro, esos coeficientes acabamos de decir que pueden ser números complejos.  En sus tripas se pueden esconder unidades imaginarias.

¿Cómo se le da la vuelta a ese estado?  Fácil, cuando se le da la vuelta en la combinación a los estados se les da la vuelta también y a los números se les hace el complejo conjugado:

tres1

Podéis comprobar que todavía se cumple:

tres2

Complicando la caja

Volvamos a nuestra caja de medida del color.  Hasta ahora hemos trabajado con una caja que solo tenía una forma de medir el color y con otra caja que podía medir el color o bien en la dirección 1 o bien en la dirección 2.

medida1

dos3

Ahora compliquemos un poco más la caja.  Ahora podemos medir el color en tres direcciones, la dirección 1, la dirección 2, la dirección 3.

puertas1

Ahora, hemos de definir estados y operadores para cada una de las puertas.  Recordemos que los estados propios de la dirección 1 no eran propios de la dirección 2 y por lo tanto no tienen estados simultáneos que puedan responder a medidas hechas en las dos direcciones, esos valores no están determinados.  Eso es porque los operadores \hat{C}_1 y \hat{C}_2 no conmutaban.  Así los estados propios y operadores para dichas direcciones en nuestro caso eran:

dos6

Y podíamos expresar los estados propios de color de una dirección en función de los estados propios de los de la otra dirección.  Nosotros habíamos elegido expresarlo todo en función de los estados propios de color de la dirección 1:

camba4

com5

Podemos describir los estados propios de color en la dirección 3 y el operador de color en dicha dirección de forma análoga a los dos anteriores:

tres3

Ahora viene el problema… ¿Podremos expresar estos estados y este operador también en términos de los estados propios de color en la dirección 1?  Os dejo un rato para que lo penséis y para ayudar os diré que los resultados experimentales son los mismos que cuando tenemos la dirección 1 y la dirección 2.  Es decir, si yo meto sistemas cuánticos preparados en el estado propio de color blanco en la dirección 1 y lo mido en la dirección 3 encontraré que el 50% me saldrá blanco en la dirección 3 y 50% negro en la dirección 3.

¿Se os ocurre como se podría formar esas superposiciones de estados propios del color en la dirección 1 que expresen los estados propios de color en la dirección 3?

La respuesta está aquí:

tres4

Sin el uso de los números complejos en cuántica no sería posible hacer esto y por lo tanto el formalismo no podría dar cuenta a esta situación que, como comprenderéis, se puede realizar experimentalmente.

¿Y el operador?  A ver si llegáis a este resultado:

tres5

Y por último, sería genial si pudierais comprobar los siguientes conmutadores:

\left[\hat{C}_1,\hat{C}_2\right]=i\hat{C}_3

\left[\hat{C}_2,\hat{C}_3\right]=i\hat{C}_1

\left[\hat{C}_3,\hat{C}_1\right]=i\hat{C}_2

Intentadlo, es divertido y esas relaciones indican que los operadores de color en tres direcciones distintas no conmutan entre sí.  Por lo tanto, un sistema no tiene color definido, puede estar en una superposición de estados, y los estados propios del operador color en una dirección no pueden ser propios de los operadores de color en las otras direcciones.  Un fliple porque eso indica que no podemos medir simultáneamente el color de un sistema cuántico como el que estamos trabajando en tres o incluso dos direcciones distintas.

Nota para la esperanza

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Posiblemente te hayas preguntado -¿A qué viene todo esto de colorines y direcciones y toda la parafernalia? -.

Lo sé, tú quieres saber física de verdad porque para eso entras en un blog que se suponen que habla de eso, de física.  Y sí, todo esto es un poco de dibujos animados, un cuento en el que estamos perdiendo el tiempo.  O tal vez no…

Si has seguido las 8 entradas de esta segunda parte del minicurso te has enfrentado a un “juego” inventado donde se han ido metiendo manipulaciones.  Sí, está chulo pero para un rato, ya puede que se esté haciendo largo.

No desesperes, lo que ha aprendido en estas entradas, si has tenido la santa paciencia de seguirlas, es la mecánica cuántica asociada a eso que llaman por ahí el espín de las partículas.

Sí, eso es, si abres un libro de mecánica cuántica y te pones a leer sobre el espín verás como todas las expresiones son sospechosamente parecidas a las que hemos visto en estas entradas.  Las manipulaciones, si las has seguido y las has trabajado, son exactamente idénticas a las que hemos introducido aquí.  Está bien, no es literal, para simplificar la cosa me he comido factores constantes pero no es una gran cosa. Me he comido la constante de Planck y los valores +1 y -1 que obtenemos a aplicar los operadores sobre sus estados propios en el caso del espín de un electrón en realidad son +1/2 y -1/2.

Pero te quiero decir que si has seguido estas entradas entonces no tendrás problema con el capítulo sobre el espín de cualquier texto de mecánica cuántica que se estudie en la carrera de física o química. ¿Te lo esperabas?

Lo de las cajas midiendo colores en distintas direcciones es una analogía para la medida del espín.  El espín es una cantidad que se puede medir en distintas direcciones, dirección X, dirección Y, dirección Z.  Resulta que los valores que se pueden obtener en cada una de esas direcciones son solo dos (para partículas como el electrón) +1/2 y -1/2.  También resulta que los operadores de espín en esas direcciones no conmutan y por tanto no se puede medir el espín en dos direcciones distintas.

Vamos que sí hemos jugado pero detrás del juego hay física de verdad.  Os confirmo que sois expertos en espín cuántico.

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¡FELICIDADES!

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Nos seguimos leyendo…

6 Respuestas a “Mecánica cuántica from a dummy. Que no te lo cuenten 8

  1. Parece que con los caracteres normales (para dummys) no sale la expresión de lo que he llamado resta. Las preguntas son cómo sale la ‘fórmula’ de C2 en función de los estados propios de la dirección 1, 1B y 1N, y qué cosa es el resultado de la operación de conmutar los operadores C1 y C2 que resulta ser (no sé como) el propio C2..

  2. Yo soy un superdummy. Aunque he entendido la idea, me pasa como a Jaime Rudas: al calcular la expresión del operador C2 en función de los estados “1” (MC para dummys-6), utilizando la expresión de los estados 2B y 2N en función de dichos estados “1”, en vez de la ‘resta’ I1B><1BI me sale una 'suma'.
    A partir de aquí me lo creo todo pero no lo veo. ¿Podrías incluir la demostración para idiotas de que es una 'resta' y no una 'suma'?
    Me pasa algo parecido con el conmutador [C1,C2], del mismo capítulo MC for dummys-6. Según el texto, el resultado del conmutador es exactamente 'C2', es decir, un operador. Ahí, además de no saber calcular el resultado, cual dummy, me pierdo en el sentido: ¿no era un 'número', un escalar, el resultado de hacer la operación de conmutar?
    Perdona mi ignorancia y gracias por tu trabajo.
    Saludos.

  3. Eres maravilloso. Cuando sea grande quisiera ser que tú.

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  5. Pingback: Mecánica cuántica from a dummy. Q...

  6. Eres un divulgador excepcional. Mis felicitaciones más sinceras.

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