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Juegos paradójicos

Me pide mi amigo Enrique que escriba algo para celebrar los dos años de su fantástico bitácora. Siguiendo mi antigua tradición cada vez que colaboro con este blog, me propongo relatar algo relacionado con las matemáticas, pero nacido de la mente de un físico, lo cual prueba que los físicos son mucho mejores que lo que algunos piensan. Puede que estéis apostando por Newton o Feynmann o alguno otro por el estilo, pero la realidad es que el protagonista de esta historia no está ni en desiertos remotos ni en montañas lejanas. Nos lo podemos encontrar en la capital del (por poco tiempo) Reino, en cuya universidad complutense ejerce su magisterio.

Pero antes de presentar a nuestro protagonista veamos un par de juegos bien simples:

Para jugar ambos juegos disponemos de un total de 100€.
El primer juego, al que en un alarde de originalidad llamaremos juego A (por la primera letra del alfabeto), consiste en apostar en cada turno 1€ y perderlo siempre. Evidentemente no es el más apetecible de los juegos y al cabo de 100 turnos habremos perdido todo nuestro dinero.
El segundo juego, al que llamaremos B, como los más sagaces entre los lectores ya habían adivinado, consiste en contar el dinero que nos queda, si es una cantidad par ganamos 3€, si es una cantidad impar perdemos 5€. No es difícil de analizar tampoco este juego y los 100€ iniciales también se desvanecerían al cabo de 100 turnos. Pero ahora veamos qué ocurre si podemos jugar alternativamente ambos juegos tan malos para nosotros:
Empecemos por B: tenemos 100€ y, por tanto, ganamos 3€ para colocarnos en 103€, ahora juguemos A y perdemos 1€ y nos situamos en 102€, si ahora jugamos B, volvemos a ganar y ya tenemos 105€. Así, si jugamos BABABABA… (N.B.: señor Rajoy: los puntos suspensivos son tres y no cuatro como usted se empeña en escribir en sus mensajes de texto), al cabo de 100 turnos hemos ganado 100€.
¿Qué ha ocurrido aquí? Sencillamente que mezclando de forma adecuada dos juegos perdedores, hemos obtenido un juego ganador. Esto es lo que se conoce, inapropiadamente, como la paradoja de Parrondo, que toma su nombre de Juan Manuel Rodríguez Parrondo, profesor del departamento de Física atómica, molecular y nuclear de la complutense. Aclaro que lo que me parece inapropiado es llamarlo paradoja, no que tome su nombre del bueno de Juan Manuel. También aclaro que existen secuencias que no son tan favorables como la anterior, porque si jugamos ABABABA…, cada dos turnos perdemos 6 euros.

El profesor Rodríguez Parrondo

El profesor Rodríguez Parrondo

Naturalmente, desde que esta paradoja alcanzó cierto renombre, en parte gracias a la labor divulgadora del australiano Derek Abbot (como el mismo Rodríguez Parrondo admite en esta entrevista), se ha tratado de aplicar en muy diversos campos, como la ingeniería, dinámica de poblaciones y, muy especialmente, en economía, disciplina en la que, de alguna u otra forma, esta paradoja siempre se ha aplicado en los mercados bursátiles bajistas intentando aprovechar los dientes de sierra que todo valor presenta para conseguir una estrategia alcista. Por ejemplo, el también físico Sergei Maslov desarrolla en este trabajo una estrategia de compra y venta de acciones que, en algún sentido, está íntimamente ligada con la paradoja de Parrondo. También en Genética, explica por qué dos alelos que por separado tenderían a desaparecer por selección natural, pueden reforzarse si aparecen juntos en un mismo organismo.

Pero, no olvidemos que soy matemático, propongamos otros dos juegos con monedas (y así introducimos el azar), parecidos a los que he comentado anteriormente para examinar con mayor profundidad la paradoja de Parrondo desde un punto de vista probabilístico. De hecho, estos son los dos juegos que propone el propio Rodríguez Parrondo en su web:

Para el nuevo juego A necesitamos una moneda ligeramente descompensada y de tal forma que la probabilidad de cruz sea algo mayor que ½ (diremos que 1/2+ε, donde ε es un número pequeño y positivo) y, por tanto, la de cara será 1/2-ε. Nuestra obligación es siempre apostar un euro a que saldrá cara y, por tanto, este también es un juego perdedor. Efectivamente, al cabo de n turnos habremos perdido aproximadamente n(1/2+ε)-n(1/2-ε)=2nε euros. Para el nuevo juego B necesitamos dos monedas. La primera de las monedas (moneda G) nos favorece y hace que ganemos con un (3/4-ε) de probabilidad. La segunda (moneda P) es perjudicial y perderemos con ella (9/10-ε) de las veces. Para determinar cuál de las dos monedas jugamos, lo que haremos, como antes, es contar nuestro capital, si es múltiplo de 3 jugaremos con la moneda mala y si no lo es, utilizaremos la buena. Así, aproximadamente jugaremos con la moneda buena el doble de veces que con la mala (no es del todo cierto, dado el carácter del juego, pero vale como simplificación), pero como la maldad de la moneda P es mucho más del doble que la bondad de la moneda G, este juego también es perdedor. Lo curioso es que para este par de juegos el comportamiento si lo jugamos alternadamente y escogemos ε adecuadamente, es mucho más interesante que el juego simplificado que contamos al principio. Efectivamente, aunque ambos juegos son perdedores, casi cualquier mezcla que hagamos entre ellos resulta ser un juego vencedor, pero voy a intentar aclararlo a continuación:
Un ε adecuado (no es difícil ver la razón, pero la omito para evitar tecnicismos) puede ser ε=0.005. De la propia web de Rodríguez Parrondo copio la siguiente gráfica que muestra distintas simulaciones de los dos juegos A y B combinados:

plot

Cada una de las líneas representa una combinación específica de ambos juegos. La línea superior, marcada con [3,2] significa que jugamos tres veces A, después dos B y así sucesivamente, la siguiente, marcada con [2,2] significa que jugamos 2 veces A, 2 veces B y así sucesivamente. En dicho gráfico vemos que no solo los tres patrones estudiados salen ganadores, sino que también si decidimos aleatoriamente en cada momento cuál de los dos jugar (línea random), también obtenemos un juego ganador. Naturalmente, a partir de esta gráfica, surgen varias preguntas y existen muchos trabajos que tratan de responder a dichas preguntas: ¿cuáles son las secuencias ganadoras? ¿existe una estrategia óptima? En este sentido, es conocida la secuencia óptima: repetir el patrón ABABB (ello ha sido demostrado por un compañero de departamento del propio Rodríguez Parrondo: Luis Dinis (Luis Dinis, “Optimal sequence for Parrondo games”. Physical Review 77 (2) Article Number: 021124 – FEB 2008). El método seguido por Dinis no es trivial, pero abre nuevas puertas para el examen de diversos juegos de Parrondo y plantea la búsqueda de los juegos de Parrondo “más paradójicos” en el sentido de que dos juegos muy negativos den combinados juegos muy positivos o de juegos de Parrondo combinación de más de dos juegos o en los que el capital no juegue ningún papel.

Por último, me gustaría destacar que en campos tan alejados como la psicología o la sociopolítica se ha señalado que las paradojas de Parrondo pueden jugar algún papel. Por ejemplo, mentir en política suele ser negativo (o debería serlo) y tener una aventura extramatrimonial también suele ser negativo para la opinión pública. Así, cuando se supo que el presidente Clinton había tenido una aventura con Mónica Lewinski, su popularidad decreció, cuando la negó, volvió a decrecer, pero cuando admitió que había mentido, su popularidad sobrepasó los valores iniciales. Con esto no estoy animando a nuestros políticos a que mientan y admitan que han mentido, más bien los conmino a tener muchas aventuras matrimoniales, extramatrimoniales y de todo tipo, puede que con esta receta no mejoren como políticos, pero seguro que estarán menos amargados y así saldremos todos ganando.

Felicides Enrique, muchas felicidades querido gato.

¿Subes o bajas?

Sin duda, los últimos tiempos están siendo muy interesantes para este blog. Estamos teniendo unas magníficas nuevas incorporaciones a la plantilla de cuentistas. Lo que vas a leer ha sido escrito por Alberto Márquez (@twalmar) y estamos seguros que ya nunca será lo mismo pulsar el botón para llamar a un ascensor después de leer esta entrada :).  Es un gran placer, honor, satisfacción y alegría inmensa (Alberto, ¿paro ya?) contar con este nuevo colaborador.

@Cuent_Cuanticos, al que yo consideraba mi amigo, me sugirió hace unos días que por qué no escribía una entrada para este blog: naturalmente rechacé de plano su invitación y le quité dos puntos en la escala Márquez de amistad. Mis razones para ello supongo que están muy claras, pero como parto de la base de que el 90% de los diez lectores de esta entrada desconocen quién soy yo, igual conviene explicitarlas: la primera es que si leo la cabecera del blog leo: “Un nuevo blog para la divulgación de la física teórica actual”, pues resulta que yo soy matemático y mi ignorancia sobre la física es de proporciones ciclópeas, además, como matemático, no acabo de entender eso de “un nuevo blog” ¿hasta cuándo seguirá siendo nuevo? Todo muy vago para mi gusto. Lo cual me hace enlazar con la segunda y verdadera razón: soy vago. Así, sin paliativos, si alguien quiere que desarrolle un poco más dicha afirmación, lo único que se me ocurre es: soy muy vago.
Entonces, ¿cómo es que he escrito esto? Supongo que la respuesta es evidente: una vez sembrada la semilla del reto, por mucho que uno se niegue, dicha semilla acaba germinando y cuanto antes se acabe con esta pesadilla mejor, básicamente para poder seguir sin hacer nada.

Dicho lo cual, está claro que el tema da un poco igual, que lo importante es salir del paso lo antes posible y con el menor esfuerzo; pero como no sé hablar de física, voy a hablar de un físico (el segundo que aparece en esta entrada).
El físico en cuestión es George Gamow (1904-1968), la verdad es que he pasado muy buenos George Gamow, Soviet-US physicistratos con algunos de sus libros donde se percibe que, a pesar de ser físico, tenía un gran sentido del humor; y no puedo dejar de mencionar la que, para mi, es la mayor demostración de humor de la ciencia: uno de los artículos fundacionales del Big Bang es “The Origin of Chemical Elements” (Physical Review, April 1, 1948), escrito conjuntamente con su alumno Ralph Alpher, lo curioso es que entre los autores de dicho trabajo también figura Hans Bethe (que constaba como profesor en Cornell, pero que estaba muy involucrado en el desarrollo de armas nucleares y que no había participado en absoluto en el trabajo) por el afán de Gamow de que los autores fueran Alpher-Bethe-Gamow haciendo un juego de palabras con las tres primeras letras griegas.

Pero me he de centrar: yo he venido aquí a hablar de matemáticas. Pues bien: Gamow, como toda mente inquieta y siguiendo el principio formulado por Asimov de que la frase más importante de la ciencia y el progreso no es “Eureka” sino “es extraño”, se dio cuenta junto con su colega Marvin Stern de que estando los despachos de ambos en el mismo edificio (el de Gamow en la segunda planta y el de Stern en la sexta de un edificio con siete plantas), de que la mayoría de las veces que Gamow tomaba el ascensor (he utilizado el verbo tomar como una cortesía hacia los posibles lectores del otro lado del Atlántico, aún siendo consciente de que ellos habrían dicho agarraba) este (el ascensor) provenía de unos de los pisos superiores: había muchos más ascensores que bajaban. Ellos se preguntaban si en la planta baja se estaba produciendo una acumulación de ascensores. Toda vez que en el caso de Stern ocurría lo contrario (la mayoría de los ascensores provenían de abajo), parecía que la única interpretación válida era que en las plantas intermedias se estaban fabricando ascensores y que desde allí se enviaban para arriba o abajo según la demanda.
Parece ser que llegaron rápidamente a descartar esta última hipótesis (supongo que después de alguna comprobación: aunque teóricos, eran físicos) y así pergueñaron una complicada interpretación que no era del todo acertada. Este hecho: el que en un edificio con un ascensor, este proceda desde arriba más frecuentemente en las plantas inferiores y lo contrario en las superiores se conoce como la paradoja del ascensor.

En realidad, la resolución de dicha paradoja es más simple de lo que parece:
Realicemos el siguiente ejercicio mental: estamos en la primera planta (por debajo nuestra solo está la planta cero) de un edificio con cien plantas en total, el único ascensor del edificio se mueve uniformemente a lo largo de todo el edificio; es evidente que al llamar al ascensor, este, con una probabilidad mucho mayor (98/100 en nuestro caso) se encontrará en alguna de las plantas superiores y, por tanto, procederá desde arriba al llamarlo. Así que no existe tal paradoja, sino que, por simple cálculo de probabilidades, podemos explicar el hecho que tanto llamó la atención de el bueno de Gamow.

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Anecdóticamente, en la (no muy recomendable) serie Numb3rs, esta supuesta paradoja es usada para resolver uno de los crímenes que se cometen en uno de sus episodios (“las cajas chinas” de la cuarta temporada).

elevatorLo curioso es que si existen más de un ascensor el fenómeno no se observa con tanta intensidad y que si el número de ascensores tiende a infinito la probabilidad de que el ascensor más cercano provenga de arriba es justo la mitad ¿por qué ocurre esto?  Os propongo que aportéis vuestras soluciones en los comentarios.