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Ecuación de Dirac – Primera parte

Paul Maurice Dirac

    Vamos a comenzar con el estudio de los espinores. Como veremos estos son unos objetos matemáticos muy interesantes que aparecen en muchos rincones de la física. Por ejemplo, son esenciales para la descripción de los fermiones que son aquellas partículas de espín semientero y que son las que conforman la materia ordinaria en su nivel más fundamental. Ejemplos de fermiones son los electrones, los protones, los quarks, etc.

Antes de introducirnos en las peculiaridades matemáticas de los espinores tenemos que detenernos a estudiar la famosa ecuación de Dirac. Esta es una ecuación que combina la cuántica y la relatividad especial, es decir, describe el comportamiento cuántico de sistemas que se mueven de forma relativista.

Sin lugar a dudas, la ecuación de Dirac es una de las construcciones teóricas más importantes del siglo XX y cambió para siempre la forma en la que entendíamos la materia. Entre las maravillas escondidas en los trazos de esta ecuación podemos encontrar la explicación de la antimateria, la explicación y origen del espín de las partículas elementales y, quizás de una manera exagerada, toda la química.

Si buscamos en la literatura especializada podemos encontrar muchas derivaciones de esta ecuación. Lo maravilloso es que nació de la mente de Dirac en respuesta a los problemas que presentaba una descripción relativista de los fenómenos cuánticos. En esta primera entrada sobre la ecuación quiero proponer una forma de derivar la ecuación, puede que no sea la mejor, ni la más elegante desde el punto de vista matemático, pero es la que más me ha convencido para exponerla en el blog.

Antes de continuar, esta entrada será la primera del curso técnico sobre espinores y espero poder mostrar todas las derivaciones paso a paso. Pero en algún sitio hay que poner el punto de partida, así que el requerimiento mínimo para seguir estas entradas es el de un conocimiento de algebra matricial y cálculo de una y varias variables. Como siempre, el objetivo es que estas entradas sean lo más autocontenidas posible, espero conseguirlo.

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Retomamos los cursos técnicos

Hola amigos,

este blog está a punto de cumplir 2 añitos. Entre los objetivos con los que nació estaba la de proporcionar de la manera más simple posible acceso a temas más técnicos que a los que se acostumbra en divulgación.

Con esa intención fuí escribiendo entradas más formales agrupadas en los Cursos Técnicos que empecé con:

Introducción a la teoría cuántica de campos

Introducción a la supercuerdas

El motivo de estos cursos técnicos era la de proporcionar un punto de acceso a todos los interesados en los vericuetos matemáticos y expresiones matemáticas de estos campos. En divulgación se habla de muchas de estas cuestiones pero no es fácil encontrar un sitio donde se presente su desarrollo técnico de forma elemental pero formal.  Evidentemente, estas entradas y estos cursos están orientados a aquellos que tienen un bagaje mínimo en física y matemáticas. Intento siempre explicarlo todo lo mejor que sé pero en algún punto hay que poner el corte.

Como habréis notado, va para un año que no publico nada en estas temáticas. La razón es simple, se necesita mucho tiempo para preparar una entrada de este tipo, lleva un trabajo de selección de temas, de lectura de distintas referencias, de hacer a mano los cálculos para detectar qué pasos pueden ser más o menos claros, etc. En el último año no me ha sobrado tiempo para estos menesteres. Sin embargo, en breve podré dedicar más tiempo a esta tarea que me parece interesante y útil en algún sentido (la vedad es que personalmente aprendo mucho).

¿Cómo van a seguir estos cursos?

Continuaremos con las entradas de los dos cursos iniciados, por supuesto. Y, además vamos a empezar tres cursos más de índole matemática, alguno de ellos propuestos por nuestros lectores a lo largo de estos meses pasados. Los cursos serán:

Grupos y algebras de Lie.

Introducción a la geometría diferencial.

Espinores.

Introducción al formalismo cuántico.

¿Por qué estos temas?

Primero porque me interesan a un nivel personal.

Segundo porque son esenciales para entender la física de nuestros días. Dejadme hacer unos comentarios de cada uno de ellos que los desarrollaré en la presentación de los distintos cursos cuando corresponda.

  • Grupos y algebras de Lie:  Este es un tema esencial para entender la estrucutra de las interacciones gauge y de otras simetrías en física. La teoría de grupos, y especialmente los de Lie, es un tema omnipresente en física de partículas, teoría cuántica de campos, etc.  En este primer curso sobre el tema presentaremos su aspecto más “operacional”, más algebráico, y veremos como se emplea en física.
  • Introducción a la geometría diferencial:  La geometría diferencial y la física tienen una amplia relación. El ejemplo arquetípico es la relatividad general que uno podría decir que es la geometría dinámica de variedades Riemannianas de dimensión cuatro con métricas no definidas positivas cuando se acoplan a fuentes externas que llamamos materia.  Sin embargo, la geometría diferencial está presente no solo en relatividad general, es parte esencial de las teorías gauge, de la mecánica clásica, etc. Una formación aceptable en este campo es más que provechosa para un físico.
  • Espinores:  Estos son unos cacharros muy divertidos, se emplean profusamente en teoría cuántica de campos, supersimetría, teoría de cuerdas, gravedad cuántica, etc. Me gustaría dar sus propiedades matemáticas y su notación infernal. Esto nos posibilitará entrar en otros temas con mayor profundidad.
  • Introducción al formalismo cuántico:  La cuántica es esa caja de sorpresas que tanto nos gusta en divulgación. En estas entradas pretendo desarrollar de forma elemental su formalismo para posibilitar que se vea su profundida (y “sencillez”) en acción y no solo en palabras y analogías.

Así que intentaré que a partir de julio tengamos dos entradas técnicas por semana.  Como siempre me gustaría saber si alguien está siguiendo los cursos, vuestros comentarios siempre son bienvenidos y ayudan a mejorar este sitio. Gracias a vosotros se detectan errores de concepto o de notación o tipográficos, así que estoy muy agradecido con vuestra colaboración.

Espero que estos cursos os interesen.

Nos seguimos leyendo…

Probabilidades negativas

En esta entrada seguimos con el curso de Introducción a la Teoría Cuántica de Campos y pretendemos mostrar el verdadero problema asociado a la ecuación de Klein-Gordon cuando la consideramos una ecuación que describe cómo se comporta una partícula relativista.

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El problema de Klein-Gordon

En la entrada, Campo Escalar: La ecuación de Klein-Gordon hemos introducido la ecuación más básica para un campo relativista.  En el contexto empleado estamos intentando describir una partícula de espín nulo bajo las leyes de la relatividad especial.

En esta entrada vamos a dar un argumento simple por el que esta interpretación no se sostiene. Posteriormente estudiaremos esto con más detalle y mostraremos como el paso a una teoría de campos soluciona estos problemas.

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Campo Escalar: La ecuación de Klein-Gordon

Vamos a comenzar nuestro estudio de los campos cuánticos.  En esta entrada vamos a introducir la ecuación de Klein-Gordon.  La derivación de la misma la haremos de la forma más simple posible dejando para más adelante una derivación basada en un principio de acción.

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