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Pi day España: Celebración a lo grande

 

 

logoCorría el año 1988 y en un mueso de ciencia cualquiera, el San Francisco Exploratorium, un físico de nombre Larry Shaw se propuso honrar al número PI y eligió la fecha del 14 de Marzo.  El 14 del 3… Todo cobra sentido cuando nos damos cuenta de que en el mundo anglosajón esa fecha se escribe 3-14.

Larry Shaw

Larry Shaw

En el año 2009 una directriz de la casa de Representantes de Estados Unidos proclamó el 14 de marzo como el día nacional de PI.

Por supuesto, la cosa no se quedó en Estados Unidos, la idea de celebrar el día de PI y dedicar un día a este número, a sus maravillas y a la matemática en general era demasiado buena como para no ser aprovechada.

En estas… Allá por el año 2016,  para las celebraciones del día de PI en Francia, con sede en Marsella, nuestra Clara Grima fue invitada a la celebración y participó como conferenciante.

Y volvió enamorada de la idea…

Así que, Clara, empezó a soñar con la idea de tener un día de PI en España donde se celebrara el acontecimiento como es debido procurando la participación especial de pequeñas y pequeños, chicas y chicos de secundaria y bachillerato y de sus profes.

Así es como ha nacido el proyecto Piday.es que este año tiene por mensaje:

“Si pi no soy nada”

pidaysp-banner

Y está lleno de actividades en las que puedes participar, tus estudiantes o tus profes. No te cortes y haz algo bonito sobre ese número hermoso que es PI.  Sigue leyendo y verás de cuántas formas puedes participar.

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¿Comprobar o resolver? Esa es la cuestión. ¿P=NP?

Esta entrada ha sido escrita en colaboración con Alberto Márquez @twalmar, sin cuya ayuda no podría haber afrontado tan titánica tarea.  ¿De qué va esta entrada?  Teniendo en cuenta que el título es bastante explícito tan solo diremos que está en nuestro ánimo aclarar de la forma más exquisita posible el problema P/NP.  Somos conscientes de que se han escrito miles de palabras sobre el tema a nivel de divulgación y popularización.  Desgraciadamente, también somos conscientes de que un alto porcentaje de las mismas son mamarrachadas de un considerable calibre.  Esperamos con anhelo no formar parte de ese excelso conjunto con esta, nuestra pequeña contribución.

Esta entrada se complementa con el programa 29,  de @Los3_Chanchitos (específicamente la tercera sección conducida por Alberto), por si eres aficionado al tema podcast:

#3chanchitos29

Y con este vídeo por si le das más al tema YouTube (también de Alberto):

El problema que pretendemos desgranar es bello, es hermoso, es complicado y es esencial para la matemática y para la física. Su solución en un sentido u otro, y aclararemos eso en esta entrada, supondrá una demostración de que hemos entendido algo del universo o bien que no habíamos entendido nada pero que será fácil empezar a entenderlo todo. (Estamos siendo crípticos en pleno uso de nuestras facultades mentales).  Vamos a establecer qué es eso del problema P/NP.

Si cuando hayas leído esto te encanta el tema y quieres agradecerlo estaría genial que pulsaras el botón que tienes abajo y votaras a los tres chanchitos (dirección: 3chanchitos.es) para el mejor podcast en el premio Bitácoras de este año:

Votar en los Premios Bitacoras.com

Vamos al lío… Nunca mejor dicho.

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Te vi(gilo)

Clara y Raquel dibujadas por Raquel Garcia Ulldemollins  (Clara es la pelirroja)

Clara y Raquel dibujadas por Raquel Garcia Ulldemollins
(Clara es la pelirroja)

Francamente, tenía muchas ganas de aparecer por aquí. Tengo que reconocer que nunca antes me había conquistado la Física, a pesar de que algunos físicos no me caen nada mal… Pero quiere la vida que mi hijo mayor, al que llamamos amorosamente el gafotas, haya conseguido que me interese por ella. Y es que según él:

“Las mates molan, pero la Física sirve para hacer muchas más cosas”

Ya saben lo que dicen: cría cuervos

Al principio creí que se le pasaría, fases de las criaturas, pero desde que el pasado verano me despertara de la siesta para pontificar:

“Los matemáticos siempre presumís de que descubristeis la música pero la música no es más que una vibración y las vibraciones, mamá, son cosa de nosotros, los físicos.”

supe que, de momento, no había vuelta atrás.

Así que cuando Enrique me invitó a escribir una entrada en su blog el día de su segundo aniversario no solo no pude negarme sino que acepté con alegría y entusiasmo. Solo faltaba elegir el tema de la entrada y, claro, eso era fácil: si me lo pide Enrique, voy a hablar de flechazos. Ajá, de esos flechazos.

Hace pocos días tuve el placer de descubrir a una artista española, de Albacete para más señas, en uno de los conciertos gratuitos que, con motivo del día del Orgullo Gay, se celebran en las plazas de Madrid. Fue en la Plaza del Rey. Ella era Rozalén. Y sí, fue un flechazo. Más aún, cuando sonó esta canción:

Me vinieron a la cabeza muchos flechazos, muchos momentos de “te vi y, desde el primer momento, supe que eras ‘pa’ mí”.

Como es este un portal  de divulgación científica, de los mejores actualmente en lengua castellana, me limitaré a contar un flechazo científico, dejando para otra ocasión y para mi blog personal, quién sabe, hablar de los de que tiran del ombligo con aleteos de maripositas a las que no nos da la gana cortarle las alas.

orourkeEl flechazo científico al que me refiero tuvo que ver con este libro y muy especialmente con el primer capítulo del mismo: Polygon triangulation.

Más concretamente, lo que me atrapó en las redes de la, para mí entonces desconocida a pesar de ser ya licenciada en Matemáticas (otro día hablamos de planes de estudio y tal), Geometría Computacional y, en muchos sentidos, modificó mi vida, fue el Problema de la Galería de Arte.

No es la primera vez que hablo de este problema, los que me conocen deben estar cansados de oírlo, pero es que me parece fascinante. Trataré de ser breve, para que no me cierren las puertas de este blog 😉

Imaginemos que tenemos un gato metido en una caja cerrada y queremos saber en todo momento si está vivo o muerto. Sí, sí. Nada de incertidumbres, que a mí las incertidumbres me dan un fatiguita mu rara…

Queremos al gato en todo momento vigilado.

Usaremos cámaras de vigilancia dentro de la caja, en las esquinas de esta. La pregunta es: ¿cuántas cámaras son suficientes para asegurar que el gato está vigilado, se ponga donde se ponga? Si estáis pensando en una caja como un prisma rectangular (lo que viene siendo una caja de zapatos), la respuesta es fácil, ¿no? Con una cámara es suficiente.

Podemos pensar no en la caja completa y el dibujo tridimensional, sino en la base de la caja. Si la caja es un prisma rectangular, la base será un rectángulo.

No es difícil deducir que para vigilar un rectángulo es necesaria y suficiente una única cámara en una de las esquinas, debido a la ausencia de paredes que pudieran impedir la grabación en alguna zona de la caja.

(Nota: Estamos suponiendo que la cámara ve 360º a la redonda y tiene alcance ilimitado)

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También, a poco que nos fijemos y juguemos con un lápiz y un papel, llegaremos a la conclusión de que si la base de la caja es un triángulo, un polígono cualquiera de 4 vértices o uno de 5, siempre es suficiente (y necesaria, claro) una sola cámara.

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Ya con 6 vértices encontraremos cajas que necesitan 2 cámaras. De hecho, si exploramos los distintos polígonos de 6 vértices posibles, llegaremos a la conclusión de que para cualquier polígono de 6 vértices son suficientes 2 cámaras para vigilarlo. Aunque, no siempre son necesarias 2, como se puede ver en el hexágono regular de la derecha en la siguiente figura.

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Podríamos decidir seguir con este estudio añadiendo un vértice cada vez al polígono que da forma a la base de la caja, pero sería tedioso y aburrido…

Así que os propongo un reto: si os digo solamente el número de vértices que tiene la base de la caja, ¿me podéis decir cuántas cámaras son suficientes para vigilarla, sea como sea el polígono de la base? Es broma, ¿eh? No es un problema para resolver en un rato ni mucho menos, de hecho, ese es básicamente el planteamiento del Problema de la Galería de Arte, cambiando la caja por un museo. Fue planteado en 1973 por Victor Klee y la primera respuesta la dio Václav Chvátal en 1975:

si el polígono es simple (no se cortan las aristas entre sí) y tiene N vértices, siempre serán suficientes \frac{N}{3} cámaras para vigilarlo. En realidad, \lfloor \frac{N}{3}\rfloor , esto es, la parte entera por defecto de \bf{\frac{N}{3}}. Es decir, que si tenemos 22 vértices, N=22, \frac{N}{3} = 7,333333333 y en este caso, \lfloor \frac{N}{3}\rfloor=7, el número que obtenemos, pero sin decimales.

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Pues nada, lo que probó Chvátal es que si me dibujas un polígono muy enrevesado, todo lo enrevesado que quieras, con 22 vértices, por ejemplo, siempre serán suficientes 7 cámaras para vigilarlo. Sí, vamos a verlo con  el siguiente polígono:

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Sin desprestigiar a nuestro amigo Chvátal al que admiro, no voy a usar su demostración para convenceros de que en el polígono del dibujo de arriba son suficientes 7 cámaras para vigilar todo el polígono. No.  Voy a usar la demostración que, de este mismo hecho, dio Fisk en 1978. Una demostración bella y cautivadora por su elegancia y sencillez, como todo en la vida en general y en las Matemáticas, en particular. De hecho, la extrema belleza de esta prueba de Fisk le valió que Erdös la señalara como candidata a estar en el Libro de las Demostraciones que, según él, tenía algún dios con las demostraciones más bellas e iba repartiendo a algunas mentes privilegiadas. Nuestro amigo Paul Erdös era más ateo que yo, si se puede. Lo del libro era una metáfora.

Bueno, que me derivo, vamos a repetir los argumentos de la prueba de Fisk para ver que en polígono de 22 vértices que acabamos de dibujar (lo he dibujado yo, pero bueno) son suficientes 7, \lfloor 22/3\rfloor, cámaras para vigilarlo.

Lo primero que vamos a hacer es triangular el polígono. Para ello, lo que hacemos es añadir todas las diagonales posibles (en amarillo) que sean interiores al polígono, que unan 2 vértices no consecutivos del mismo, y que no crucen a una ya dibujada. Esto es muy apañao además si queréis tener a alguien un rato entretenido dibujando rayitas.

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Ahora vamos a colorear los vértices del polígono de tal forma que si 2 vértices están unidos por un segmento (ya sea blanco, de la frontera del polígono; o amarillo, si es una diagonal interior) no pueden estar coloreados con el mismo color. No lo vamos a ver aquí, pero Fisk demuestra en su trabajo que un polígono simple triangulado siempre se puede colorear (siguiendo la regla anterior) usando solo 3 colores. Ea, pues cogemos 3 Alpinos, de nuestros 3 colores favoritos y coloreamos.

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Ya lo tenemos. Que sí, que lo tenemos.

Para asegurarnos de vigilar todo el polígono, bastaría con asegurarnos de que vigilamos todos los triángulos de la triangulación del mismo, ¿no? Los triángulos recubren todo el polígono, si todos están vigilados, lo estará también él. En todos los triángulos hay un vértice rojo, uno azul y otro verde. Si ponemos una cámara en cada vértice rojo, por ejemplo, ya hemos terminado. Claro;  puesto que en todos los triángulos hay, necesariamente, un vértice rojo, si en cada uno de estos, de los vértices rojos, ponemos una cámara, todos los triángulos estarán vigilados y ¡chim pón!

Pero no las vamos a poner en los vértices rojos, no, porque son 8, y estoy segura de que uno de los colores aparece, como máximo, 7 veces…

¿Que cómo lo sé? Por el Principio del Palomar.

¿Que cuál es el Principio del Palomar? Que si tienes más palomas que palomares, en uno de los palomares tienes que guardar más de una paloma.

¿Que qué tienen que ver las palomas con la vigilancia de gatos bicromáticos? Si tengo que colorear 22 vértices con 3 colores, es como si tuviese que colocar 22 palomas en 3 palomares distintos. En uno de los palomares, como máximo, hay 7 palomas, \lfloor 22/3\rfloor.

¡Anda que no! No pueden tener los 3 palomares 8 palomas o más, que, hasta donde yo sé, eso son 24 palomas como poco.

Efectivamente, si nos fijamos en el dibujo con los vértices coloreados, el color verde aparece 7 veces y también el azul. En este caso, podemos elegir cualquiera de los 2 para ubicar las cámaras, pero, en general, usaremos el color menos popular en la coloración de vértices, el que menos aparezca. Y, de nuevo, por el Principio del Palomar, será menor que \lfloor 22/3\rfloor.

Maravilloso, ¿que no?

Esto es un ejemplo  de cómo Fisk demuestra que \lfloor \dfrac{N}{3}\rfloor cámaras son siempre suficientes para vigilar un polígono con N vértices. Aquí tenéis el trabajo completo de Fisk.

La pregunta ahora es: ¿son siempre necesarias \lfloor \dfrac{N}{3}\rfloor  cámaras? Evidentemente, no, basta con pensar en polígonos redonditos (convexos) como este, que solo necesitan una cámara para controlar al gato:

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Entonces, igual podemos mejorar el valor de Fisk, el de \lfloor \dfrac{N}{3} \rfloor, porque, a lo mejor, ningún polígono necesita nunca \lfloor \dfrac{N}{3} \rfloor cámaras, ¿no?

Pues no. A veces, son necesarias \lfloor \dfrac{N}{3}\rfloor cámaras:

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Este fue el problema por el que, como dije al principio, sentí un flechazo por la Geometría Computacional y me enredé con ella.

En realidad, es una de las versiones más simples de este tipo de problemas, hemos supuesto que, por ejemplo, las cámaras graban 360º a la redonda y tienen alcance ilimitado… Os podéis imaginar, entonces, toda la variante de problemas, ninguno de ellos fáciles de tratar computacionalmente, que se derivan de este si, por ejemplo, limitamos el ángulo de visión de la cámara (pueden ser focos y queremos no vigilar, sino iluminar); o si limitamos el alcance de la misma; si permitimos que las cámaras se muevan; si queremos que cada cámara esté vigilada por otra cámara por motivos de seguridad; si en lugar de cámaras son routers que sí atraviesan paredes pero con restricciones… hay todo un mundo de problemas derivados del Problema de la Galería de Arte y todos son, al menos para mí, preciosos. Si me dejan volver a este blog, podemos explorar alguno de ellos otro día 😉

Ahora toca despedirse.

Felicidades a todos los cuentistas de este blog. Espero que sigáis adelante mucho tiempo y creo que mi gafotas también lo espera. Hacéis algo grande, de verdad.

Muchas gracias por la invitación, Enrique. Ha sido para mí un verdadero honor aparecer por vuestra casa. Y aunque la canción de Rozalén,  además de la Galeria de Arte,  me recuerda a la primera vez que nos vimos y me dijiste aquel “Hola”, me despido con una de mi Zenet que me evoca a ti, porque con este blog me enseñas a entender el Universo, también. 

¡Feliz cumpleaños, Fis!

Mati y Fis dibujados por Raquel para Mati y sus mateaventuras

Mati y Fis dibujados por Raquel para Mati y sus mateaventuras

De lo abstracto a lo observable. Universo y Topología

Esta entrada también se presenta a la edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas que este mes está hospedado en el blog: La aventura de la ciencia.

La matemática es abstracta, sí, lo es. Pero la abstracción sólo está en el interior de nuestras cabezas.  Muchas veces hasta los conceptos más abstractos de la matemática cobran vida y se puede convertir en elementos observables de la “realidad” que nos rodea.  En esta entrada pretendemos ver la relación entre la topología y ciertas características de nuestro universo.

La topología es la rama de la matemática que estudia las propiedades de los conjuntos que permanecen invariables frente a transformaciones continuas.

Dicho así queda un poco elevado, nos podríamos meter en la definición de topología, en los abiertos, los compactos, los puntos de acumulación, las fronteras, las homologías, etc.  Sin embargo, en esta entrada pretendemos dar ciertas nociones de la utilidad de la topología en física (una de tantas a cada cual más maravillosa). Con esto pretendemos convencer a los matemáticos de que hay ejemplos ahí fuera de cada concepto que ellos tan sesudamente definen.

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Gauge esto, Gauge lo otro… ¿Qué es una teoría gauge?

La palabra gauge la encontramos por doquier en los escritos sobre física. Aparecen expresiones como simetría gauge, invariancia gauge, bosones gauge, teorías gauge, etc.  Sin embargo, pocas veces se explica con propiedad qué es esta teoría, por qué es tan fundamental y cómo la entienden y por qué la veneran tanto los físicos.

En esta entrada pretendemos algo que nos da un poco de vértigo, explicar qué es una simetría gauge y por qué es tan importante sin emplear matemáticas. Tenemos esta entrada en mente desde hace mucho tiempo pero no hemos sido capaces hasta ahora de ponernos de acuerdo en la forma más adecuada de exponerla. Explicar matemáticamente la teoría gauge no tiene ningún mérito, puede que haya que manejar algunas cosas matemáticas muy guays y “difíciles” pero al fin y al cabo sólo es cuestión de estudiarselas.  Sin embargo, nuestra experiencia nos dice que cuando se le pregunta a un físico ¿qué es una teoría gauge? le entra un sudor frío (lo sabemos por experiencia).

Así que vamos a intentarlo, si os aclaramos algo mejor, si todo queda oscuro y acaba siendo un galimatías entonaremos el mea culpa.

Nota:  La entrada ha quedado un poco larga pero hemos intentado ser dar explicaciones lo más detalladas posibles, esperamos que os guste.

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