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Ecuación de Dirac – Primera parte

Paul Maurice Dirac

    Vamos a comenzar con el estudio de los espinores. Como veremos estos son unos objetos matemáticos muy interesantes que aparecen en muchos rincones de la física. Por ejemplo, son esenciales para la descripción de los fermiones que son aquellas partículas de espín semientero y que son las que conforman la materia ordinaria en su nivel más fundamental. Ejemplos de fermiones son los electrones, los protones, los quarks, etc.

Antes de introducirnos en las peculiaridades matemáticas de los espinores tenemos que detenernos a estudiar la famosa ecuación de Dirac. Esta es una ecuación que combina la cuántica y la relatividad especial, es decir, describe el comportamiento cuántico de sistemas que se mueven de forma relativista.

Sin lugar a dudas, la ecuación de Dirac es una de las construcciones teóricas más importantes del siglo XX y cambió para siempre la forma en la que entendíamos la materia. Entre las maravillas escondidas en los trazos de esta ecuación podemos encontrar la explicación de la antimateria, la explicación y origen del espín de las partículas elementales y, quizás de una manera exagerada, toda la química.

Si buscamos en la literatura especializada podemos encontrar muchas derivaciones de esta ecuación. Lo maravilloso es que nació de la mente de Dirac en respuesta a los problemas que presentaba una descripción relativista de los fenómenos cuánticos. En esta primera entrada sobre la ecuación quiero proponer una forma de derivar la ecuación, puede que no sea la mejor, ni la más elegante desde el punto de vista matemático, pero es la que más me ha convencido para exponerla en el blog.

Antes de continuar, esta entrada será la primera del curso técnico sobre espinores y espero poder mostrar todas las derivaciones paso a paso. Pero en algún sitio hay que poner el punto de partida, así que el requerimiento mínimo para seguir estas entradas es el de un conocimiento de algebra matricial y cálculo de una y varias variables. Como siempre, el objetivo es que estas entradas sean lo más autocontenidas posible, espero conseguirlo.

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Retomamos los cursos técnicos

Hola amigos,

este blog está a punto de cumplir 2 añitos. Entre los objetivos con los que nació estaba la de proporcionar de la manera más simple posible acceso a temas más técnicos que a los que se acostumbra en divulgación.

Con esa intención fuí escribiendo entradas más formales agrupadas en los Cursos Técnicos que empecé con:

Introducción a la teoría cuántica de campos

Introducción a la supercuerdas

El motivo de estos cursos técnicos era la de proporcionar un punto de acceso a todos los interesados en los vericuetos matemáticos y expresiones matemáticas de estos campos. En divulgación se habla de muchas de estas cuestiones pero no es fácil encontrar un sitio donde se presente su desarrollo técnico de forma elemental pero formal.  Evidentemente, estas entradas y estos cursos están orientados a aquellos que tienen un bagaje mínimo en física y matemáticas. Intento siempre explicarlo todo lo mejor que sé pero en algún punto hay que poner el corte.

Como habréis notado, va para un año que no publico nada en estas temáticas. La razón es simple, se necesita mucho tiempo para preparar una entrada de este tipo, lleva un trabajo de selección de temas, de lectura de distintas referencias, de hacer a mano los cálculos para detectar qué pasos pueden ser más o menos claros, etc. En el último año no me ha sobrado tiempo para estos menesteres. Sin embargo, en breve podré dedicar más tiempo a esta tarea que me parece interesante y útil en algún sentido (la vedad es que personalmente aprendo mucho).

¿Cómo van a seguir estos cursos?

Continuaremos con las entradas de los dos cursos iniciados, por supuesto. Y, además vamos a empezar tres cursos más de índole matemática, alguno de ellos propuestos por nuestros lectores a lo largo de estos meses pasados. Los cursos serán:

Grupos y algebras de Lie.

Introducción a la geometría diferencial.

Espinores.

Introducción al formalismo cuántico.

¿Por qué estos temas?

Primero porque me interesan a un nivel personal.

Segundo porque son esenciales para entender la física de nuestros días. Dejadme hacer unos comentarios de cada uno de ellos que los desarrollaré en la presentación de los distintos cursos cuando corresponda.

  • Grupos y algebras de Lie:  Este es un tema esencial para entender la estrucutra de las interacciones gauge y de otras simetrías en física. La teoría de grupos, y especialmente los de Lie, es un tema omnipresente en física de partículas, teoría cuántica de campos, etc.  En este primer curso sobre el tema presentaremos su aspecto más “operacional”, más algebráico, y veremos como se emplea en física.
  • Introducción a la geometría diferencial:  La geometría diferencial y la física tienen una amplia relación. El ejemplo arquetípico es la relatividad general que uno podría decir que es la geometría dinámica de variedades Riemannianas de dimensión cuatro con métricas no definidas positivas cuando se acoplan a fuentes externas que llamamos materia.  Sin embargo, la geometría diferencial está presente no solo en relatividad general, es parte esencial de las teorías gauge, de la mecánica clásica, etc. Una formación aceptable en este campo es más que provechosa para un físico.
  • Espinores:  Estos son unos cacharros muy divertidos, se emplean profusamente en teoría cuántica de campos, supersimetría, teoría de cuerdas, gravedad cuántica, etc. Me gustaría dar sus propiedades matemáticas y su notación infernal. Esto nos posibilitará entrar en otros temas con mayor profundidad.
  • Introducción al formalismo cuántico:  La cuántica es esa caja de sorpresas que tanto nos gusta en divulgación. En estas entradas pretendo desarrollar de forma elemental su formalismo para posibilitar que se vea su profundida (y “sencillez”) en acción y no solo en palabras y analogías.

Así que intentaré que a partir de julio tengamos dos entradas técnicas por semana.  Como siempre me gustaría saber si alguien está siguiendo los cursos, vuestros comentarios siempre son bienvenidos y ayudan a mejorar este sitio. Gracias a vosotros se detectan errores de concepto o de notación o tipográficos, así que estoy muy agradecido con vuestra colaboración.

Espero que estos cursos os interesen.

Nos seguimos leyendo…

Cursos técnicos en Cuentos Cuánticos

Después de una intensa discusión, argumentos, contraargumentos, y numerosas quejas, hemos decidido abrir una nueva sección en Cuentos Cuánticos. La sección en cuestión será:

Los cursos técnicos de Cuentos Cuánticos

¿Qué pretendemos?

Lo que vamos a intentar es crear una serie de contenidos técnicos sobre diversos temas de la física teórica actual.  Es decir, crear una serie de apuntes que constituyan un curso real de una determinada materia.

La idea que tenemos es hacer cursos a distintos niveles pero sin omitir ningún detalle matemático o físico.  Organizaremos los cursos en:

  1. Nivel Grado
  2. Nivel Master
Los cursos nivel grado serán más simples desde el punto de vista técnico y cualquiera con un conocimiento adecuado podrá seguirlos.  Los cursos nivel master serán más específicos y complicados desde el punto de vista matemático.
Intentaremos en todo momento explicar todos los detalles y dar todos los pasos de los razonamientos que se expongan.
¿Por dónde empezamos?
Vamos a empezar con dos cursos Nivel Grado.
  • Curso:  Introducción a la teoría cuántica de campos
  • Curso:  Introducción a la teoría de cuerdas
Hemos decidido empezar por estos dos cursos por las opiniones que hemos recibido tanto en el foro como en el twitter de los amigos que han tenido a bien dar su opinión al respecto.
Según veamos la acogida de estos cursos ampliaremos con un curso nivel grado sobre Cosmología y otro nivel Master sobre Loop Quantum Gravity.
Los cursos estarán orientados a todos aquellos que queréis ver la física de verdad y que no tenéis miedo a las matemáticas.  Esperamos que sean de interés tanto a estudiantes de física y matemáticas como a todos aquellos que quieran seguirlos.  Por supuesto que toda duda que surja se intentará resolver.
Pretendemos también dejar problemas propuestos y resolverlos dado un tiempo prudencial.  Sabemos que esto es utópico, pero en realidad esto lo hacemos por puro egoismo, sin duda vamos a aprender mucho (y alguno incluso lo podrá aprovechar para sus clases 😉 )
Programación
Crear estos contenidos requerirá un tiempo elevado para preparar las notas y corregirlas.  Así que la idea es poner una entrada por semana aproximadamente sobre estos cursos.  En caso de ampliar a los otros dos cursos mencionados veríamos qué periodicidad sería la adecuada (también tenemos vida, ¿o no?, qué más da…).
¿Vamos a dejar de hacer divulgación más llana?
Ni soñarlo, este sitio tiene el objetivo de divulgar y de enseñar.  Así que lo cortés no quita lo valiente y seguiremos con nuestra línea de escribir sobre física a nuestra forma.  Además de que seguiremos contando con las colaboraciones de @filotecnóloga que nos está deleitando con sus entradas sobre filosofía, las entradas macroeconómicas y las que están por venir.
Esperamos que os guste la idea y que nos apoyéis en esta nueva locura.
Un saludo,
Cuentos Cuánticos